Distribuições no simplex com componentes correlacionados

Estou procurando algum tipo de distribuição sobre o simplex no qual os componentes são correlacionados de maneira ordinal. Ou seja, se $p = (p_1, ..., p_J)$ é extraída de nossa distribuição no simplex, gostaria $p_i$ a ser positivamente correlacionada com a sua vizinhos $p_{i + 1}$ e $p_{i - 1}$ , dizem. Um Dirichlet de baunilha claramente não pode satisfazer esse requisito. Suponho que uma opção seja uma mistura de distribuições de Dirichlet; por exemplo, quando $J = 4$ alguém poderia tomar $\mathcal D(1, 1, 0, 0) + \mathcal D(0, 1, 1, 0) + \mathcal D(0, 0, 1, 1)$ ou algo semelhante para induzir correlação, mas estou me perguntando se há algo um pouco mais natural. Outra opção suponho é tomar qualquer distribuição em$\{1, 2, ..., J\}$ , diga$f(j | \eta)$ , coloque uma distribuição em$\eta$ take$p_j = f(j | \eta)$ . Então eu poderia pegar, por exemplo,$\eta \sim \mbox{Beta}(\alpha, \beta)$ e deixar.$f(j | \eta) = {J \choose j} \eta^j (1 - \eta)^{J - j}$

De qualquer forma, eu gostaria que o que eu terminasse fosse o mais tratável possível. A mistura de Dirichlet é atraente porque eu poderia ter uma boa conjugação condicional para mim, mas não está claro como configurar as coisas. Essa pergunta fala sobre a distribuição normal logística, mas eu não sei muito sobre isso; é tratável para inferência bayesiana?

Obviamente, os componentes de um Dirichlet já estão correlacionados negativamente, e pedir "correlação positiva" provavelmente não é totalmente coerente, pois se é grande, então, por natureza, está ocupando a maior parte da massa e forçando a probabilidade de seus vizinhos sejam pequenos. Talvez o que eu dizer seja que esteja positivamente correlacionado com . Esperamos que a pergunta, conforme afirmada, seja suficiente para que as pessoas saibam o que eu quero e possam me ajudar.p i p i + 1 / ∑ j ≠ i p $p_i$$p_i$$p_{i + 1} / \sum_{j \ne i} p_j$

Uma maneira de ter um vivendo no simplex, sem as limitações impostas pelas covariâncias negativas da distribuição do Dirichlet, é definir , para , em que a matriz tem a classificação . Adicionando a restrição , qualquer distribuição normal dimensional pode ser atribuída a .ϕ i = ∑ k j = 1 c i j log θ j i = 1 , … , k - 1 ( k - 1 ) × k C = ( c i j ) k - 1 ∑ k i = 1 θ i = 1 $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_k)$$\phi_i=\sum_{j=1}^k c_{ij} \log \theta_j$$i=1,\dots,k-1$$(k-1)\times k$$C=(c_{ij})$$k-1$$\sum_{i=1}^k\theta_i=1$φ = ( φ 1 , ... , φ k - 1$k-1$$\phi=(\phi_1,\dots,\phi_{k-1})$

A inferência bayesiana é tratável nessa rica classe de distribuições introduzida e estudada por Aitchison em uma série de artigos

Journal of the Royal Statistical Society, , , 139-177 (1982),$\textbf{B}$$\textbf{44}$

Jornal da Sociedade Estatística Real, , , 136-146 (1985);$\textbf{B}$$\textbf{47}$

e em seu livro

$\textit{The Statistical Analysis of Compositional Data}$ . Chapman & Hall: Londres (1986).