Avaliando a qualidade das distribuições previstas

Eu tenho um conjunto de pontos de dados onde são as variáveis ​​independentes e acredito que cada pode ser modelado como sendo extraído de uma distribuição exponencial com os parâmetros .$X_i, y_i$$x$$y_i$$\lambda_i$

Se eu usar o para prever , como posso avaliar a qualidade das minhas distribuições previstas em relação às observações ?$X_i$$\lambda_i$$y_i$

Edit: Esta é essencialmente a mesma pergunta que Como avaliar a qualidade do estimador de probabilidade para experimentos de Bernoulli? mas em um contexto contínuo em vez de um contexto binomial. Não é óbvio para mim o que usar neste caso, em vez de entropia cruzada.

A abordagem padrão para isso é usar a probabilidade logarítmica da distribuição exponencial. É exatamente assim que a entropia cruzada é derivada, é a probabilidade logarítmica da distribuição de Bernoulli.

No caso de uma distribuição exponencial, o pdf é:

$$f(y; \lambda) = \lambda e^{-\lambda y}$$

Portanto, a probabilidade do log é:

$$LL(\lambda_i; y_i ) = \log(f(y_i; \lambda_i)) = \log(\lambda_i) - \lambda_i y_i$$

Portanto, se são seus valores verdadeiros e são suas previsões, um modelo exponencial minimizaria:$y_i$$\lambda_i$

$$LL(\{\lambda_i\}; \{y_i\}) = \sum_i \log(\lambda_i) -\lambda_i y_i$$

Ajustar modelos maximizando a probabilidade logarítmica dessa maneira leva à teoria dos modelos lineares generalizados; o modelo exponencial é um caso especial.

A maneira padrão de avaliar distribuições preditivas é através de regras de pontuação . A probabilidade de log que Matthew Drury recomenda é um exemplo: é a regra de pontuação logarítmica . Há também outros. Merkle & Steyvers (2013, Decision Analysis ) discutem como diferentes regras de pontuação se unem e como escolher uma.

Mais informações podem ser encontradas na tag wiki , e temos várias perguntas relacionadas aoregras de pontuação tag.