A distribuição do ponto inicial de um processo de RA

Considere um processo estocástico seguindo o modelo que .$\{X_t, t = 1, 2, \ldots\}$

$$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$$ $e_t \thicksim f$

Posso dizer que a distribuição do ponto inicial, , é a mesma que ?$X_1$$f$

Posso dizer que a densidade marginal estacionária, se existir, de é igual a ?$\{X_t\}$$X_2 (\stackrel{D}{=}\alpha X_1 + e_2)$

Penso que a densidade marginal estacionária, se existir, de é igual a , mas não necessariamente igual a .$\{X_t\}$$X_2$$X_1$

Os processos de séries temporais definidos apenas por uma equação recursiva não são totalmente especificados, pois dependem da especificação de uma "distribuição inicial". A menos que haja alguma restrição adicional que você precisa cumprir, você pode usar qualquer distribuição inicial que desejar e ainda terá um modelo de RA que esteja em conformidade com a equação recursiva especificada. No entanto, tendo dito isso, geralmente é o caso que queremos especificar um modelo estacionário de RA, o que impõe uma restrição adicional além da equação recursiva. Se você deseja que seu modelo de RA seja estacionário, é necessário e também escolher a distribuição marginal do valor inicial para ser igual à distribuição assintótica do processo.$|\alpha|<1$

Para obter a distribuição marginal necessária para um modelo estacionário, defina a variação para a distribuição marginal, definindo sua variação como . A partir da equação recursiva que define seu processo de AR, você tem:$\sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) = \mathbb{V}(X_{t-1})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) &= \mathbb{V}(\alpha X_{t-1} + e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \mathbb{V}(X_{t-1}) + \mathbb{V}(e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \sigma_X^2 + \sigma^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

A solução para gera:$\sigma_X$

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}.$$

Portanto, para obter um modelo AR estacionário (fortemente) (com média zero), você usaria a distribuição inicial:

$$X_i \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$$

O uso dessa distribuição inicial garante que todos os valores das séries temporais tenham a mesma distribuição marginal, o que fornece um processo estacionário. Você notará a partir deste resultado que a variação marginal da série é maior se o valor absoluto do parâmetro de correlação automática estiver mais próximo de um. Isso ocorre porque esses processos têm alta correlação automática, o que leva a grandes asas no processo, levando a uma maior variação (marginal).

Mais uma coisa a observar aqui é que você não possui um termo médio em seu modelo de RA, portanto ele tem uma média assintótica de zero e, portanto, usamos uma média de zero na distribuição inicial. Você pode generalizar seu modelo para ter um parâmetro médio, se quiser, mas isso mudaria um pouco a equação recursiva. Eu discuti essa questão para o modelo de AR mais geral em outra resposta a uma pergunta semelhante aqui , e eu recomendo que você leia essa resposta para complementar esta.