Gere números aleatórios normais dependentes de distribuição idêntica com soma pré-especificada

Como eu gero números aleatórios normais aleatoriamente distribuídos de forma idêntica, mas não independentes, de modo que sua soma caia dentro de um intervalo pré-especificado com probabilidade ? $n$ $[a,b]$ $p$

(Essa pergunta é motivada pela geração de uma caminhada aleatória que termina em um ponto pré-especificado: afinal, um processo aleatório não é tão aleatório (determinístico) . Como uma variável aleatória contínua tem uma probabilidade zero de atingir um número exato, fazemos a segunda melhor coisa e peça um intervalo inteiro para terminar.)

EDIT: A geração de amostras a partir da distribuição Gaussiana singular foi proposta como duplicada, que por sua vez é fechada como duplicata de Gerar números aleatórios normalmente distribuídos com matriz de covariância definida não positiva . Concordo que ambos são úteis. No entanto, o objetivo da pergunta atual (mais especificamente, da resposta) é primeiro descobrir que podemos usar uma distribuição normal multivariada para abordar a questão e, segundo, que tipo de matriz de covariância funciona. Como obter amostras de uma distribuição com essa covariância é uma terceira etapa, na qual os threads vinculados são úteis.

normal-distribution random-generation sum

— Stephan Kolassa
fonte

veja também a literatura sobre pontes brownianas ?

— precisa

@BenBolker: parece uma ideia muito melhor que a minha. Você estaria interessado em escrever uma resposta?

— Stephan Kolassa

talvez eu consiga, mas qualquer pessoa que esteja lendo isso deve se sentir à vontade para entrar e escrever uma resposta. Eu não me importo.

— Ben Bolker

(Desculpe, é claro, quero dizer "BB-BB".) #

— Stephan Kolassa

Possível duplicata da geração de amostras da distribuição Gaussiana singular

— Xian

Geraremos normais multivariados com e forma que sua soma seja satisfatória nossa condição. Seja . $X\sim MN(\mu, \Sigma)$ $\mu\in\mathbb{R}^n$ $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $Z=X_1 + \dots + X_n$

Como um meio comum, escolhemos

μ_{1} = \dots = μ_{n} = \frac{a + b}{2 n} .

$\mu_1 = \dots = \mu_n = \frac{a+b}{2n}.$

Para que com probabilidade , seu desvio padrão deva cumprir $Z\in[a,b]$ $p$

σ_{Z} = \frac{b - a}{q_{α}},

$\sigma_Z = \frac{b-a}{q_\alpha},$

onde é o quantil normal padrão para o nível , aqui . $q_\alpha$ $\alpha$ $\alpha=1-\frac{1-p}{2}$

Agora precisamos especificar . Temos muita margem de manobra aqui. Vamos supor que queremos que a cada seja e a covariância seja para . A chave para criar um "bom" é esta resposta anterior por probabilityislogic . Isso resulta que a soma de nossos s tem variação $\Sigma$ $X_i$ $\sigma^2$ $\text{cov}(X_i,X_j)=\tau$ $i\neq j$ $\Sigma$ $X_i$

n σ^{2} + n (n - 1) τ

$n\sigma^2 + n(n-1)\tau$

então precisamos disso

n σ^{2} + n (n - 1) τ = \frac{b - a}{q_{α}} .

$n\sigma^2 + n(n-1)\tau = \frac{b-a}{q_\alpha}.$

Também precisamos garantir que seja definitivo positivo, mas isso não é muito difícil. A maneira mais fácil de fazer isso é garantir que todas as entradas em sejam positivas, por exemplo, definindo $\Sigma$ $\Sigma$

σ^{2} := \frac{σ_{Z}^{2}}{2 n}, τ := \frac{σ_{Z}^{2}}{2 n (n - 1)},

$\sigma^2 := \frac{\sigma_Z^2}{2n}, \quad \tau := \frac{\sigma_Z^2}{2n(n-1)},$

mas isso fornece valores muito pequenos e somas e trajetórias cumulativas muito chatas:

Menos chato é definir

σ^{2} := 1, τ := \frac{1}{n - 1} (\frac{σ_{Z}^{2}}{n} - σ^{2}),

$\sigma^2 := 1, \quad \tau := \frac{1}{n-1}\big(\frac{\sigma_Z^2}{n}-\sigma^2\big),$

que produz trajetórias muito mais interessantes:

Observe que definir isso de fato produz uma matriz de covariância válida, porque é então da forma , a saber $\Sigma$ $\Sigma_{ij} = m(i-j)$

m (0) = σ^{2}, m (j) = τ for j > 0,

$m(0) = \sigma^2, \quad m(j) = \tau\text{ for }j>0,$

e nós temos isso

\sum_{j > 0} | m (j) | = (n - 1) | τ | = | \frac{σ_{Z}^{2}}{n} - σ^{2} | = | \frac{σ_{Z}^{2}}{n} - 1 | < 1 = σ^{2} = m (0),

$\sum_{j>0} |m(j)| = (n-1)|\tau| = \big|\frac{\sigma_Z^2}{n}-\sigma^2\big| = \big|\frac{\sigma_Z^2}{n}-1\big| < 1 = \sigma^2 = m(0),$

que é uma condição suficiente para ser estritamente positivo definido pela Wikipedia (ponto 7 em "Outras propriedades" ). $\Sigma$

Código R abaixo, mas primeiro, vá para cima e vote na resposta da probabilityislogic .

n_steps <- 1000
target_min <- 1.99
target_max <- 2.01
target_prob <- 0.99

target_mean <- mean(c(target_min,target_max))
target_sd <- (target_max-target_mean)/qnorm(p=1-(1-target_prob)/2)

mm <- rep(target_mean/n_steps,n_steps)

# boring setting:
# sigma_sq <- target_sd^2/(2*n_steps)
# tau <- target_sd^2/(2*n_steps*(n_steps-1))

sigma_sq <- 1
tau <- (target_sd^2/n_steps-sigma_sq)/(n_steps-1)

CC <- matrix(tau,nrow=n_steps,ncol=n_steps)
diag(CC) <- sigma_sq

library(MASS)
foo <- mvrnorm(1,mu=mm,Sigma=CC)
sum(foo)

plot(cumsum(foo),type="l",xlab="",ylab="")
abline(h=target_mean,lty=2)

— Stephan Kolassa
fonte