Como é chamada a família de distribuições com PDF proporcional a ?

Considere uma família de distribuições com PDF (até uma constante de proporcionalidade) dada por Como é chamado? Se não tiver um nome, como você o chamaria?

p (x) \sim \frac{1}{(1 + α x^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

Parece bastante semelhante à família de distribuições com PDF proporcional a $t$

p (x) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} x^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Quando , temos distribuição com 1 df, também conhecida como distribuição Cauchy. Quando ou , obtemos distribuição gaussiana. $\alpha=\nu=1$ $t$ $\alpha\to 0$ $\nu\to\infty$

Essa família de distribuições aparece em Yang et al., Embarcação estocástica simétrica de cauda pesada, NIPS 2009 , mas eles não usam nenhum nome para se referir a ela.

— ameba
fonte

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Eu diria que é uma forma de distribuição t em escala, definindo os valores correspondentes para ve escala.

— Cagdas Ozgenc

Obrigado @CagdasOzgenc (+1). Você está certo. Glen_b elaborou isso em uma resposta.

— Ameba

Caso você não saiba, mgcv::gampermite a especificação de um T escalado como resposta ao usar gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852

É simplesmente uma distribuição escala específica - uma distribuição com uma variação diferente da distribuição padrão . $t$ $t$ $t$

Deixe . Vamos . $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$

Então (se eu fiz direito) é um padrão com df $Y=X/\sigma$ $t$ $\nu$

Eis como foi o meu raciocínio:

f_{Y} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ é uma densidade padrão .

t

$t$

Nós obtemos a família de escalas deixando , nesse caso é um dimensionado -densidade. $X/\sigma=Y$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} f_{Y} (\frac{x}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$

t

$t$

Apenas iguale os coeficientes em sua densidade a isso e resolva e . $\nu$ $\sigma$

Reconhecer que um parâmetro de escala ocupará o que não está "certo" em (dado que já está definido pela equação de potências) era tudo o que era necessário para ver sua escala ; álgebra não era necessária até chegar a hora de encontrar os parâmetros do . $\alpha x^2$ $\nu$ $t$ $t$

[Nota final: caso não seja óbvio que uma família de escalas tenha o formato , assuma a probabilidade instrução (observando que o evento é idêntico ao evento ) e diferencia-se.] $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $X/\sigma\leq t$ $Y\leq t$

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

α \geq 2

$\alpha\ge 2$

α = 2

$\alpha=2$

k / | x |

$k/|x|$

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$