O Problema da Pesca

Suponha que você queira pescar no lago das 8h às 20h. Devido à sobrepesca, foi instituída uma lei que diz que você só pode pescar um peixe por dia. Quando você captura um peixe, pode optar por mantê-lo (e, assim, voltar para casa com esse peixe) ou jogá-lo de volta no lago e continuar pescando (mas corre o risco de se instalar com um peixe menor ou nenhum peixe). Você quer pegar o maior peixe possível; especificamente, você deseja maximizar a massa esperada de peixe que leva para casa.

Formalmente, podemos configurar esse problema da seguinte forma: os peixes são capturados em uma determinada taxa (portanto, o tempo necessário para capturar o próximo peixe segue uma distribuição exponencial conhecida) e o tamanho do peixe capturado segue alguma distribuição (também conhecida) . Queremos um processo de decisão que, dado o tempo atual e o tamanho de um peixe que você acabou de capturar, decida manter ou não o peixe.

Portanto, a pergunta é: como essa decisão deve ser tomada? Existe alguma maneira simples (ou complicada) de decidir quando parar de pescar? Penso que o problema é equivalente a determinar, por um determinado período t, qual a massa esperada de peixes que um pescador ideal levaria para casa se eles iniciassem no período t; o processo de decisão ideal manteria um peixe se, e somente se, fosse mais pesado que a massa esperada. Mas isso parece meio auto-referencial; estamos definindo a estratégia de pesca ideal em termos de um pescador ideal e não tenho muita certeza de como proceder.

stochastic-processes optimal-stopping

— b2coutts
fonte

Confira o problema do secretário na Wikipedia - especificamente a seção sobre a lei 1 / e-law de melhor escolha.

— soakley

Eu acho que a principal diferença aqui é que se supõe que sabemos como tudo é distribuído, enquanto a chave para essa solução é que ela use os primeiros candidatos 1 / e apenas para obter um pouco desse conhecimento e definir um bom limite. Eu acho que uma idéia semelhante não poderia funcionar aqui. Você pode imaginar apenas derivando um limite das distribuições, mas não acho que deva ser corrigido; Eu acho que o limiar deve diminuir com o tempo, pois você tem cada vez menos tempo para pescar melhor / qualquer peixe.

— b2coutts

@soakley veja também minha resposta à resposta de olooney; o valor (esperado) da espera depende não apenas das capturas que você obterá no futuro, mas qual delas capturará sua estratégia. Então eu acho que há um aspecto auto-referencial estranho nessa questão também.

— Julio

Qual é a função ou valor que tentamos otimizar? Ou seja, como pesamos o risco e o lucro? O objetivo é apresentar um método que maximize o valor esperado do tamanho do peixe capturado? Estamos apenas pescando um dia ou vários dias e, no último caso, como os dias estão correlacionados?

— Sextus Empiricus

Conhecemos a distribuição ... isso se refere apenas ao tipo de distribuição ou também inclui os parâmetros de distribuição?

— Sextus Empiricus

Seja $\lambda$ denotado a taxa do processo de Poisson e seja $S(x)=1-F(x)$ onde $F(x)$ é a função de distribuição cumulativa da distribuição do tamanho do peixe.

$t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

$g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

$(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

$g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

$X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

$X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— Jarle Tufto
fonte

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$