Uma estimativa imparcial da mediana

Suponha que tenhamos uma variável aleatória $X$ suportada em $[0,1]$ partir da qual podemos extrair amostras. Como podemos chegar a uma estimativa imparcial da mediana de $X$ ?

É claro que podemos gerar algumas amostras e tirar a mediana da amostra, mas entendo que isso geralmente não será imparcial.

Nota: esta questão está relacionada, mas não é idêntica, à minha última pergunta , caso em que $X$ só poderia ser amostrado aproximadamente.

Esse estimador não existe.

A intuição é que a mediana pode permanecer fixa enquanto mudamos livremente a densidade de probabilidade em ambos os lados, para que qualquer estimador cujo valor médio seja a mediana de uma distribuição tenha uma média diferente para a distribuição alterada, tornando-a enviesada. A exposição a seguir dá um pouco mais de rigor a essa intuição.

Nós concentrar em distribuições tendo medianas únicas m , de modo que, por definição, F ( m ) ≥ 1 / 2 e M ( X ) < 1 / 2 para todos os x < m . Corrija um tamanho de amostra n ≥ 1 e suponha que t : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] calcule m . (Basta que $F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$só pode ser limitada, mas que geralmente não se considerar seriamente estimadores que produzem valores obviamente impossível) Nós fazemos. há suposições sobre ; nem precisa ser contínuo em qualquer lugar.$t$

O significado de ser imparcial (para esse tamanho fixo de amostra) é que$t$

para qualquer amostra iid com . Um "estimador" t é um com esta propriedade para todos tais F .$X_i \sim F$$t$$F$

Suponha que exista um estimador imparcial. Derivaremos uma contradição aplicando-a a um conjunto particularmente simples de distribuições. Considere as distribuições com estas propriedades:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. ;$0 \le x \lt y \le 1$

2. ;$0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$

3. ;$x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$

4. ;$\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$

5. ; e$\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$

6. é uniforme em [ m - ε , m + ε ] .$F$$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Essas distribuições colocam a probabilidade em cada um de x e y e uma pequena quantidade de probabilidade simetricamente colocada em torno de m entre x e y . Isso faz com que estou a mediana única de F . (Se você está preocupado com o fato de essa não ser uma distribuição contínua, envolva-a com uma gaussiana muito estreita e trunque o resultado para [ 0 , 1 $(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$$m$$F$$[0,1]$ : o argumento não será alterado.)

Agora, para qualquer estimador mediano putativo , uma estimativa fácil mostra que E [ t ( X 1 , X 2 , … , X n ) ] está estritamente dentro de ε da média dos valores de 2 n t ( x 1 , x 2 , ... , x n ) , onde o x i variar ao longo de todas as possíveis combinações de x e y . No entanto, podemos variar $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$entre e y - ε , uma mudança de pelo menos ε (em virtude das condições 2 e 3). Assim, existe m , e daí uma distribuição correspondente F x , y , m , ε , para a qual essa expectativa não é igual à mediana, QED.$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$

Finding an unbiased estimator without having a parametric model would be difficult! But you could use bootstrapping, and use that to correct the empirical median to get an approximately unbiased estimator.

I believe quantile regression will give you a consistent estimator of the median. Given the model $Y = \alpha + u$. And you want to estimate $\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$ since $\alpha$ is a constant. All you need is the $\text{med}(u) = 0$ which should be true so long as you have independent draws. However, as far as unbiasedness, I don't know. Medians are difficult.