Se A é distribuído uniformemente em [8,10] e B em [9,11], qual é a probabilidade de B <A?

Fiz essa pergunta em uma entrevista e inicialmente não respondi corretamente, apesar de ainda achar que minha interpretação pode ter sido a correta. A questão era:

Existem dois caminhões de entrega, A e B. A faz entregas entre 8h e 10h, e B faz entregas entre 9h e 11h. As entregas são distribuídas uniformemente para ambos. Qual é a probabilidade de que qualquer entrega de B ocorra antes de qualquer entrega de A?

Qual é a sua resposta e por quê?

É 1/8. Veja a figura abaixo, que mostra o tempo de entrega de A no eixo x e B no eixo y. Como as entregas são distribuídas uniformemente, todos os pontos do quadrado têm a mesma probabilidade de ocorrer. B entrega antes de A apenas na região sombreada, que é 1/8 do valor total.

Outra maneira de pensar é que há 50% de chance de A entregar antes que B comece, e 50% de chance de B entregar depois que A terminar, o que significa que há 75% de chance de um ou dos dois acontecerem. Na chance de 25% que ambos oferecem na hora de sobreposição, é uma chance de 50 a 50 que entrega primeiro.

Como as taxas de entrega não estão especificadas, vamos assumir que A entrega $a$ pacotes por hora e B entrega $b$pacotes por hora. Então existem$2a \cdot 2b$pares de prazos de entrega. A janela em que A e B se sobrepõem nos tempos de entrega apenas$a \cdot b$ pares, na metade dos quais A vem antes de B. Portanto, a proporção de pares nos quais A vem antes de B é

Proponho outra maneira de ver, apenas se você tiver um computador durante a entrevista, é claro.

Podemos simular o processo com R, por exemplo.

Vamos simular 1000 valores de A e o mesmo de B, sabemos que ambos são uniformes, são independentes.

a <- runif(1000, 8, 10) # A deliveries
b <- runif(1000, 9, 11) # B deliveries
# [1] 9.485513 8.665070 8.488481 8.840332 8.755384 9.448949 # A deliveries for example

Ok, não são exatamente horas, mas é a mesma coisa.

A probabilidade $P(B<A)$é o que buscamos. Então, contamos apenas o número de pares em que$b<a$ no nosso código.

prob <- sum(b < a)/1000
#[1] 0.112 # almost 1/8

Também podemos traçar os 1000 pares $(a,b)$e veja a região em que B vem primeiro.

plot(a, b)
polygon(c(9, 10, 10, 9),
        c(9, 9, 10, 9), density = 10, angle = 135)

E o probvalor acima é a proporção de pontos na região sombreada (parece familiar, não é?).

Agora, poderíamos usar a fórmula para o erro padrão de uma proporção para estimar o erro padrão da simulação.

se <- sqrt(prob * (1 - prob) / 1000)
#[1] 0.009972763

E podemos construir um IC (assumindo uma aproximação normal da distribuição da amostra de probs).

prob - 1.96*se
#[1] 0.09245338 lower bound
prob + 1.96*se
#[1] 0.1315466 upper bound

Tropecei e isso entrou na minha cabeça. :-)

A resposta parece que deve depender do número relativo de entregas que cada caminhão faz na hora da possível sobreposição (9a-10a) - não há resposta constante.

Por exemplo, suponha que cada caminhão faça 2 entregas totais (1 por hora). Cada um deles faria 1 entrega entre 9 e 10 e B não superaria nada de A. Portanto, a probabilidade é 0 nesse caso.

Considere uma versão simplificada do problema em que ambos fazem entregas entre 9 e 10a (ainda uma distribuição uniforme). E, para iniciantes, suponha que eles façam o mesmo número de entregas, n.

• A primeira entrega de B supera tudo, exceto a primeira entrega de A (que está vinculada). Então, com probabilidade$\frac{1}{n}$ (a probabilidade de sermos a primeira entrega de B) vencemos um evento com probabilidade $\frac{n-1}{n}$ (a probabilidade de não sermos a primeira entrega de A)
• A segunda entrega de B superará tudo, exceto as duas primeiras entregas de A. Então, com probabilidade $\frac{1}{n}$ vencemos um evento com probabilidade $\frac{n-2}{n}$
• etc.

Colocando cada um desses termos em uma soma, obtemos:

$(\frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n}) + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n}) + ... + (\frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n})$

Ou,

$\sum_{i=1}^{n} \frac{n-i}{n^2}$

Como as probabilidades são uniformes e metade (arredondada para baixo) de cada ocorre durante a hora da sobreposição, consideramos apenas metade das entregas de cada uma. E se$n'=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$e, comparados a todo o domínio, esses eventos acontecem apenas metade do tempo. assim

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n'} \frac{n'-i}{n'^2}$

Eu acredito que para $a=b=n$você obtém $1/8$.

Como lidar com o fato de que A e B não entregam o mesmo número de pacotes? Mais uma vez, para simplificar, assuma que todas as entregas acontecem entre 9 e 10 horas.

Para cada entrega $b$ você considera do mais antigo ao mais recente, em vez de cada um sucessivo $\frac{1}{a}$ menos do caminhão A, como acima (onde $a$ é o número de entregas efetuadas pelo caminhão A e $b$ o número de entregas feitas por $b$), você elimina $\lfloor \frac{1}{b} \cdot a \rfloor$. Ou seja, você vence tudo, exceto uma fração de$a$ proporcional à fração de $b$você jogou fora. Assim,

$(\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor 1 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + (\frac{1}{b} \cdot \frac{n - \lfloor 2 \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a}) + ... + (\frac{1}{b} \cdot \frac{a - \lfloor a \cdot \frac{a}{b} \rfloor }{a})$

Ou,

$\sum_{i=1}^{b} \frac{a - \lfloor \frac{ia}{b} \rfloor }{ab}$

Mais uma vez, considerando o fato de que eles se sobrepõem apenas metade do tempo, vamos $a'=\frac{a}{2}$ e $b'=\frac{b}{2}$:

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{b'} \frac{a' - \lfloor \frac{ia'}{b'} \rfloor }{a'b'}$

É zero:

se o caminhão B tiver pelo menos uma entrega no período de [9-11], pelo menos uma entrega será feita após (ou igual a) 10

e essa entrega não ocorre antes das entregas de A (que são todas antes das 10)