Existem outras distribuições além de Cauchy para as quais a média aritmética de uma amostra segue a mesma distribuição?

Se segue uma distribuição Cauchy, também segue exatamente a mesma distribuição que ; veja esta discussão . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Esta propriedade tem um nome?
Existem outras distribuições para as quais isso é verdade?

EDITAR

Outra maneira de fazer esta pergunta:

seja uma variável aleatória com densidade de probabilidade . $X$ $f(x)$

deixar , onde indica a observação de ordem i . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ em si pode ser considerado como uma variável aleatória, sem condicionamento em quaisquer valores específicos de . $X$

Se segue uma distribuição de Cauchy, então a função densidade de probabilidade de é $X$ $Y$ $f(x)$

Existem outros tipos de funções de densidade de probabilidade (não triviais *) para que resultam em tendo uma função de densidade de probabilidade de ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* O único exemplo trivial em que consigo pensar é no delta do Dirac. ou seja, não é uma variável aleatória.

— Chechy Levas
fonte

Seu título faz pouco sentido, porque o "valor esperado de uma amostra" é um número. Você quer dizer a média aritmética da amostra? A pergunta também é vaga: por "distribuição" você quer dizer uma distribuição específica ou - como é sugerido pelo termo "Cauchy" - uma família de distribuições? Isso não é uma sutileza menor: a resposta muda completamente dependendo do que você quer dizer. Edite sua postagem para esclarecê-la.

— whuber

@whuber, adicionei uma segunda parte à pergunta que, esperançosamente, restringe o leque de possíveis interpretações.

— Chechy Levas

Obrigado; isso esclarece a maior parte. No entanto, existem respostas diferentes, dependendo se você corrige ou se deseja que esse resultado seja válido para todos os Se for o último, a condição no cf ou cgf é grave e leva a uma solução pronta. Se for o primeiro, potencialmente existem soluções adicionais.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Eu estava pensando em todos os mas se alguém quiser fornecer uma análise de um fixo também, isso seria bem-vindo.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Essa não é realmente uma resposta, mas pelo menos não parece fácil criar esse exemplo a partir de uma distribuição estável. Precisamos produzir um rv cuja função característica seja a mesma que a de sua média.

Em geral, para um sorteio de identificação, o cf da média é

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ com o cf de um único rv Para distribuições estáveis com o parâmetro de localização zero, temos onde A distribuição Cauchy corresponde a , , de modo que fato para qualquer parâmetro de escala .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

Em geral, Para obter , parece necessário, então mas

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
fonte

Então, é justo dizer que, com base em sua análise, Cauchy é a única solução para a = 1?

— Chechy Levas

Essa é a minha impressão a partir desses resultados, mas tenho certeza de que há pessoas com mais conhecimento por aqui através de distribuições estáveis.

— Christoph Hanck

Você não precisa invocar a teoria das distribuições estáveis. Como é o cgf, sua equação é paraComo é uma função uniforme contínua e zero na origem, isso implica imediatamente que o germe de na origem é

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Essa deveria ser a resposta aceita? Além de a única maneira de resolver isso é com , que (eu acho) é o delta do Dirac.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas