Como amostrar uniformemente a partir da superfície de um hiper-elipsóide (distância constante de Mahalanobis)?

Em um caso multivariado com valor real, existe uma maneira de amostrar uniformemente os pontos da superfície onde a distância de Mahalanobis da média da é constante?

EDIT: isso se resume a pontos de amostragem uniformemente da superfície de um hiperelipsoide que satisfaz a equação,

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = d^{2} .

$(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = d^2.$

Para ser mais preciso, por "uniformemente", quero dizer amostra, de modo que cada elemento de área da hiper-superfície contenha a mesma massa de probabilidade. $dA$

random-generation uniform

— sachin vernekar
fonte

Corrija-me se eu estiver errado: você está perguntando "dada uma variável aleatória , como posso amostrar uniformemente a partir dos pontos a uma determinada distância de Mahalanobis longe de ?"

X

$X$

c

$c$

E [X]

$\mathbb{E}[X]$

— Kevin Li

Acho que precisaremos de uma definição adequada de "uniformemente". A razão é a seguinte: em duas dimensões, esse conjunto de pontos se encontra ao longo de alguma elipse. Supõe-se que se faça uma amostragem dessa elipse de maneira que comprimentos iguais tenham chances iguais, ou que ângulos iguais tenham chances iguais, ou que comprimentos iguais quando as variáveis sejam padronizadas tenham chances iguais ou de alguma outra maneira? Se você pudesse explicar o que essa amostra pretende alcançar, isso pode nos fornecer informações suficientes para saber o que você está tentando perguntar.

— whuber

Entendo que a amostragem uniforme da superfície da esfera e o mapeamento para o elipsóide não fornecerão amostras uniformes no elipsóide. Então, eu preciso de um método que faça uma amostragem uniforme da superfície de um elipsóide.

— Sachin vernekar

Deseja que a amostra seja uniforme na superfície de um elipsóide, no sentido de que cada elemento de área dA da hiper-superfície contenha a mesma massa de probabilidade?

— Sextus Empiricus

Por que, como e onde você aplicará essa amostra uniforme? Essas informações podem ajudar a apresentar uma estratégia melhor / suficiente. Por exemplo, quando os diferentes eixos elipsóides não são muito diferentes, você pode usar a amostragem por rejeição (1) amostragem em uma esfera, (2) pressionando-a em um elipsóide, (3) calculando a taxa pela qual a área da superfície foi comprimida (4) rejeitar amostras de acordo com o inverso dessa taxa.

— Sextus Empiricus

Quando os diferentes eixos elipsóides não são muito diferentes, é possível usar a amostragem por rejeição (com grandes diferenças, você rejeita muito, tornando-o menos viável)

(1) amostra em uma hiperesfera
(2) espremendo-o em um hiper-elipsóide
(3) calcular a taxa pela qual a área da superfície foi espremida
(4) rejeitar amostras de acordo com essa taxa.

Exemplo 2D

set.seed(1)
#some matrix to transform n-sphere (in this case 2x2)
m <- matrix(c(1, 0.55, 0.55, 0.55), 2)

# sample multinomial with identity covariance matrix
x <- cbind(rnorm(3000, 0, 1), rnorm(3000, 0, 1))
l1 <- sqrt(x[,1]^2 + x[,2]^2)

# perpendicular vector
per <- cbind(x[,2], -x[,1])

# transform x
x <- x %*% m
# transform perpendicular vector (to see how the area transforms)
per2 <- per %*% m

# get onto unit-"sphere"/ellipsoid
x <- x/l1

# this is how the area contracted
contract <- sqrt(per2[,1]^2 + per2[,2]^2) / sqrt(per[,1]^2 + per[,2]^2)

# then this is how we should choose to reject samples 
p <- contract/max(contract)

# rejecting
choose <- which( rbinom(n=length(p), size=1, p=p) == 1)

#plotting
plot(x[1:length(choose), 1], x[1:length(choose), 2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n ")

#plotting
plot(x[choose,1], x[choose,2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n  with rejection sampling")

— Sextus Empiricus
fonte