Os produtos de RVs trocáveis são trocáveis?

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Suponha que e são duas variáveis aleatórias que possuem RVs binários como seus componentes (portanto ) e ambos ( e ) são intercambiáveis, ou seja,

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

e

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ para todas as permutações .

σ

$\sigma$

Minha pergunta é se sustenta que é intercambiável? $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$

Ou, de maneira diferente, quais suposições são necessárias para que $Z$ seja intercambiável?

bayesian exchangeability

— Sebastian
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Parece que há pelo menos um erro tipográfico na sua pergunta: você realmente quer dizer que o último componente de é " ?" A notação é opaca: você está afirmando que é uma variável aleatória com componentes binários e é uma variável aleatória cujos componentes são funções binárias de vetores binários? Quando você declara um problema de maneira abstrata, (1) é crucial que você obtenha tudo exatamente correto e (2) considere publicá-lo no site de matemática.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

Obrigado por apontar isso. Vou esclarecer a notação #

— Sebastian

6

O produto não precisa ser trocável. O contra-exemplo a seguir mostrará o que pode dar errado e por quê.

Nós especificaremos as distribuições conjuntas de e de e assumiremos que cada uma dessas variáveis aleatórias bivariadas é independente. Assim, o será intercambiável, desde que eles sejam distribuídos de forma idêntica, e da mesma forma para o Todas as variáveis serão variáveis de Bernoulli: por definição, suas probabilidades serão concentradas no conjunto $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

Seja e para $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

Como todas as distribuições marginais são Bernoulli a suposição de permutabilidade marginal é válida. Mas agora calcule que e mostrando que os produtos têm distribuições diferentes (e, portanto, não podem ser trocáveis). $(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Isso mostra que a distribuição conjunta é importante.

No entanto, as distribuições conjuntas podem diferir, mas os produtos podem ser trocados, portanto, a variáveis aleatórias bivariadas , embora seja uma condição suficiente para a dos produtos não é uma condição necessária. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Um exemplo disso é dado por variáveis ternárias com valores em Por exemplo, considere as seguintes probabilidades: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

e

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

É fácil verificar se as distribuições marginais do atribuem probabilidades iguais de a $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ as distribuições marginais do possuem vetores de probabilidade e que as a distribuição do é a mesma que a do Observe que o tem distribuições diferentes, no entanto, porque $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0 0)) = 1 / 6 \neq 0 0 = P_{2} ((- 1, 0 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Assim, o é intercambiável, o é intercambiável, o é intercambiável, mas o não é intercambiável. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
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2

Não. Suponha que o espaço amostral consista em três resultados igualmente prováveis para os quais assume valores de e para os quais assume valores de Então são intercambiáveis e . Mas os valores correspondentes de são $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0 0, 0 0), (0 0, 0 0, 0 0), (0 0, 0 0, 0 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$ tão claramente não são permutável.

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— Jarle Tufto
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