Estimador eficiente a partir de estatística insuficiente

Suponha que eu tenha uma estatística e sei com certeza que não é suficiente estimar um parâmetro . $T(X)$ $\theta$

Ainda é possível ter um estimador que seja eficiente (com perda convexa) ou existe um teorema (algo como um Rao-Blackwell reverso) que diz que isso é impossível? $\hat\theta(T(X))$

Você pode responder à pergunta sob a definição de eficiência de atingir CRLB para estimadores imparciais ou um erro quadrático médio calculado sobre a linha real ou se isso ajudará em alguma outra medida de desempenho mais favorável para responder à pergunta.

estimators sufficient-statistics efficiency

— Cagdas Ozgenc
fonte

Tanto quanto eu entendo, a eficiência entra em jogo após a consistência. Se temos um estimador consistente, estamos interessados em saber com que rapidez esse estimador converge para o parâmetro de interesse (eficiência). Então eu acho que você também pode perguntar se existe um estimador consistente que não é suficiente.

— StubbornAtom

@StubbornAtom Eu estava pensando em estimativas de máxima verossimilhança de parâmetros de famílias não exponenciais. Eles não são suficientes, mas assintoticamente consistentes e talvez eficientes. Mas uma vez que dados infinitos envolvidos talvez as coisas sejam diferentes.

— Cagdas Ozgenc #

Não é bem verdade. A família não é exponencial. No entanto, para uma amostra do tamanho desenhada a partir dessa distribuição, é uma estatística suficiente e um estimador consistente para .

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

n

$n$

{\hat{θ}}_{MLE} = max_{1 \leq i \leq n} X_{i}

$\hat\theta_{\text{MLE}}=\max_{1\le i\le n} X_i$

θ

$\theta$

— StubbornAtom

@StubbornAtom Esse é o caso de suporte em mudança (que é uma exceção ao teorema de Pitman Koopman). Você perdeu o ponto do meu comentário. Basicamente, nem sempre se aplica.

— Cagdas Ozgenc #

Pensando nisso: para uma amostra de tamanho retirada da distribuição de Cauchy , alguns quantis de amostra, como mediana, são estimadores consistentes de . No entanto, o único conjunto de estatísticas suficientes é a própria amostra ou o conjunto completo de estatísticas de pedidos. Mas acho que li que a mediana da amostra é ineficiente nesse caso. (Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/373526/… ).

n

$n$

(θ, 1)

$(\theta,1)$

θ

$\theta$

— precisa

Como [sob premissas de sua existência], uma estatística mínima suficiente é uma função de uma amostra , um estimador eficiente pode ser escrito como que dificulta a compreensão da pergunta. $S_n$ $(X_1,\ldots,X_n)$

S_{n} = S_{n} (X_{1}, \dots, X_{n})

$S_n=S_n(X_1,\ldots,X_n)$

\hat{θ} (S)

$\hat{\theta}(S)$

\hat{θ} (S (X_{1}, \dots, X_{n}))

$\hat{\theta}(S(X_1,\ldots,X_n))$

Observe que o limite inferior de Cramèr-Rao é alcançado apenas por um estimador eficiente do parâmetro natural no cenário de famílias exponenciais e também que existem muitos casos em que não existe um estimador imparcial de variância mínima uniforme.

Observe também que, fora das famílias exponenciais, os estimadores admissíveis não podem ser suficientes.

— Xi'an
fonte