Enquanto várias postagens no site abordam várias propriedades do Cauchy, não consegui localizar uma que realmente as colocasse juntas. Espero que este seja um bom lugar para coletar alguns. Eu posso expandir isso.
Caudas pesadas
Enquanto o Cauchy é simétrico e mais ou menos em forma de sino, um pouco como a distribuição normal, possui caudas muito mais pesadas (e menos "ombro"). Por exemplo, há uma probabilidade pequena, mas distinta, de que uma variável aleatória Cauchy coloque mais de 1000 intervalos interquartis da mediana - aproximadamente da mesma ordem que uma variável aleatória normal, sendo pelo menos 2,67 intervalos interquartis da sua mediana.
Variação
A variação do Cauchy é infinita.
Edit: JG diz nos comentários que é indefinido. Se considerarmos a variação como a média da metade da distância ao quadrado entre pares de valores - que é idêntica à variação quando ambos existem, então seria infinita. No entanto, pela definição usual, JG está correto. [No entanto, em contraste com os meios amostrais, que realmente não convergem para nada quando n se torna grande, a distribuição das variações da amostra continua aumentando de tamanho à medida que o tamanho da amostra aumenta; a escala aumenta proporcionalmente a n ou, equivalentemente, a distribuição da variação do log cresce linearmente com o tamanho da amostra. Parece produtivo considerar de fato que a versão da variação que produz infinito está nos dizendo algo.]
Os desvios padrão da amostra existem, é claro, mas quanto maior a amostra, maior eles tendem a ser (por exemplo, o desvio padrão médio da amostra em n = 10 está próximo a 3,67 vezes o parâmetro de escala (metade do IQR), mas em n = 100 é cerca de 11,9).
Significar
A distribuição de Cauchy nem sequer tem uma média finita; a integral da média não converge. Como resultado, mesmo as leis de grandes números não se aplicam - à medida que n cresce, a amostra significa que não converge para uma quantidade fixa (na verdade, não há nada para o qual convergir).
De fato, a distribuição da média da amostra de uma distribuição de Cauchy é a mesma que a distribuição de uma única observação (!). A cauda é tão pesada que adicionar mais valores à soma torna um valor realmente extremo provável o suficiente para compensar apenas a divisão por um denominador maior ao calcular a média.
Previsibilidade
Você certamente pode produzir intervalos de previsão perfeitamente sensíveis para observações de uma distribuição de Cauchy; existem estimadores simples e razoavelmente eficientes que têm bom desempenho para estimar local e escala e intervalos aproximados de previsão podem ser construídos - portanto, nesse sentido, pelo menos, as variáveis de Cauchy são 'previsíveis'. No entanto, a cauda se estende muito longe, de modo que, se você deseja um intervalo de alta probabilidade, pode ser bastante amplo.
Se você está tentando prever o centro da distribuição (por exemplo, em um modelo de tipo de regressão), isso pode, em certo sentido, ser relativamente fácil de prever; o Cauchy tem um pico (existe muita distribuição "próxima" do centro para uma medida típica de escala), portanto o centro pode ser relativamente bem estimado se você tiver um estimador apropriado.
Aqui está um exemplo:
Gerei dados a partir de uma relação linear com erros Cauchy padrão (100 observações, interceptação = 3, inclinação = 1,5) e linhas de regressão estimadas por três métodos razoavelmente robustos aos valores extremos y: linha de grupo Tukey 3 (vermelho), regressão de Theil (verde escuro) e regressão L1 (azul). Nenhum é especialmente eficiente no Cauchy - embora todos sejam excelentes pontos de partida para uma abordagem mais eficiente.
No entanto, os três são quase coincidentes em comparação com o ruído dos dados e ficam muito perto do centro de onde os dados são executados; nesse sentido, o Cauchy é claramente "previsível".
A mediana dos resíduos absolutos é apenas um pouco maior que 1 para qualquer uma das linhas (a maioria dos dados está bem próxima da linha estimada); também nesse sentido, o Cauchy é "previsível".
![relação linear com erros de Cauchy e três linhas de regressão ajustadas](https://i.stack.imgur.com/QWMUy.png)
Para o enredo à esquerda, há um grande desvio. Para ver melhor os dados, reduzi a escala no eixo y, à direita.