Localizando a distribuição do intervalo de amostras para uma população Beta

Seja sejam variáveis ​​aleatórias de densidade$X_1,X_2,\ldots,X_n$

$$f(x)=2(1-x)\mathbf1_{0<x<1}$$

Estou tentando derivar a distribuição do intervalo de amostra .$R=X_{(n)}-X_{(1)}$

A maneira usual de resolver esses problemas é primeiro encontrar a densidade conjunta de tomando e depois encontrar a distribuição de como uma densidade marginal. Isso é bastante direto em geral, porque sabemos a distribuição conjunta de . Porém, para esse problema em particular, a integração para encontrar o pdf marginal é bastante difícil de avaliar manualmente.$(R,S)$$S=X_{(1)}$$R$$(X_{(1)},X_{(n)})$

Para distribuições absolutamente contínuas, é facilmente mostrado através de uma mudança de variáveis ​​que a densidade da junta é dada por$(R,S)$

$$f_{R,S}(r,s)=n(n-1)(F(r+s)-F(s))^{n-2}f(s)f(r+s)\mathbf1_{s<r+s}$$

, onde é a função de distribuição da população.$F$

Então aqui eu tenho depois da simplificação

$$f_{R,S}(r,s)=4n(n-1)(r(2-2s-r))^{n-2}(1-s)(1-r-s)\mathbf1_{0<s<r+s<1}$$

Isso significa que o pdf de para deve ser$R$$0<r<1$

$$\begin{align} f_R(r)&=\int_0^{1-r}f_{R,S}(r,s)\,ds \\&=4n(n-1)r^{n-2}\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds \end{align}$$

Agora pelas partes

$$I=\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds$$

observando que

$$d\,[(1-s)(1-r-s)]=(2s+r-2)\,ds$$

Ignorando alguns detalhes, recebo

$$\begin{align} I&=\left[(1-s)(1-r-s)\frac{(2-2s-r)^{n-1}}{2(1-n)}\right]_0^{1-r}+\int_0^{1-r}\frac{(2-2s-r)^n}{2(1-n)}\,ds \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}-\frac{1}{4(1-n)}\int_{2-r}^{r}t^n\,dt \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left[r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right] \end{align}$$

Pode não parecer, mas fazer isso manualmente e escrever cada passo levou um bom tempo.

Finalmente, recebo o pdf de como$R$

$$f_R(r)=4n(n-1)r^{n-2}\left[\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left\{r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right\}\right]\mathbf1_{0<r<1}$$

Honestamente, após a computação tediosa, não sei se quero verificar se isso se integra a ou não (sem o uso de software). Então, eu não sei se essa resposta faz sentido.$1$

Gostaria de conhecer algum procedimento alternativo para resolver o problema e, talvez, uma maneira mais eficiente. Eu acho que o método CDF resulta quase na mesma complexidade.

edit: por favor, pare de votar neste comentário, era um comentário e não deveria ter sido aceito como resposta pelo OP. Por favor, leia os comentários e leia a literatura se você não estiver familiarizado com esta técnica. Parece que a relação entre a distribuição uniforme e a distribuição beta de suas estatísticas ordenadas não é ensinada / bem compreendida.

Acho que você percebeu que o intervalo é distribuído como uma forma da densidade beta? Converta em Uniforme se você não gosta de trabalhar com o Beta. Meu conselho é não integrá-lo, apenas pense em qual forma isso se assemelha; ele pode não ter um formulário fechado se envolver a função beta incompleta, mas não for realmente necessário encontrar a distribuição.