Como provar que não há espaço de recurso de dimensão finita para o kernel Gaussian RBF?

Como provar que, para a função de base radial não existe espaço de característica finito-dimensional tal que para alguns temos ?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

O teorema de Moore-Aronszajn garante que um núcleo definido positivo simétrico esteja associado a um espaço único de Hilbert do núcleo em reprodução. (Observe que, embora o RKHS seja único, o próprio mapeamento não é.)

Portanto, sua pergunta pode ser respondida exibindo um RKHS de dimensão infinita correspondente ao kernel Gaussiano (ou RBF). Você pode encontrar um estudo aprofundado disso em " Uma descrição explícita dos espaços Hilbert do kernel em reprodução dos núcleos Gaussian RBF ", Steinwart et al.

Suponha que o kernel Gaussian RBF esteja definido no domínio X × X, em que X contém um número infinito de vetores. Pode-se provar ( Gaussian Kernels, Por que eles são posto completo? ) Que para qualquer conjunto de vetores distintos x 1 , . . . , X m ∈ X matriz ( k ( x i , x j ) ) m × m não é singular, o que significa que os vectores de Φ$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ são linearmente independentes. Portanto, um espaço de recurso H para o kernel k não pode ter um número finito de dimensões.$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$