Relação empírica entre média, mediana e moda

Para uma distribuição unimodal moderadamente inclinada, temos a seguinte relação empírica entre média, mediana e modo: Como foi essa relação derivado?

(Média - Modo) \sim 3 (Média mediana)

$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$

Karl Pearson planejou milhares desses relacionamentos antes de formar essa conclusão, ou existe uma linha lógica de raciocínio por trás desse relacionamento?

— Sara
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Respostas:

Indique a média ( média), a mediana, o desvio padrão e o modo. Finalmente, seja a amostra, uma realização de uma distribuição unimodal contínua para a qual existem os dois primeiros momentos. $\mu$ $\neq$ $m$ $\sigma$ $M$ $X$ $F$

É sabido que

\begin{matrix} (1) & | μ - m | \leq σ \end{matrix}

$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$

Este é um exercício frequente de livro didático:

\begin{array}{rcl} | μ - m | & = & | E (X - m) | \\ \leq & E | X - m | \\ \leq & E | X - μ | \\ = & E \sqrt{(X - μ)^{2}} \\ \leq & \sqrt{E (X - μ)^{2}} \\ = & σ \end{array}

$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$ O primeiro igualdade deriva da definição da média, a terceira ocorre porque a mediana é o minimizador único (entre todos os 's) de

e o quarto da desigualdade de Jensen (isto é, a definição de uma função convexa). Na verdade, essa desigualdade pode ser reforçada. De fato, para qualquer

, que satisfaça as condições acima, pode ser mostrado [3] que

c

$c$

E | X - c |

$E|X-c|$

F

$F$

\begin{matrix} 2) & | m - μ | \leq \sqrt{0,6} σ \end{matrix}

$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$

Embora, em geral, não seja verdade ( Abadir, 2005 ) que qualquer distribuição unimodal deva satisfazer um dos , ainda é possível mostrar que o desigualdade

M \leq m \leq μ ou M \geq m \geq μ

$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$

\begin{matrix} (3) & | μ - M | \leq \sqrt{3} σ \end{matrix}

$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$

vale para qualquer distribuição integrável quadrada e unimodal (independentemente da inclinação). Isso é provado formalmente em Johnson e Rogers (1951), embora a prova dependa de muitos lemas auxiliares que são difíceis de ajustar aqui. Vá ver o papel original.

Uma condição suficiente para uma distribuição satisfazer é dada em [2]. Se : $F$ $\mu\leq m\leq M$ $F$

\begin{matrix} (4) & F (m - x) + F (m + x) \geq 1 for all x \end{matrix}

$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$

em seguida, . Além disso, se , a desigualdade é estrita. As distribuições de Pearson Tipo I a XII são um exemplo de família de distribuições satisfatórias [4] (por exemplo, o Weibull é uma distribuição comum para a qual não é válida, consulte [5]). $\mu\leq m\leq M$ $\mu\neq m$ $(4)$ $(4)$

Agora, assumindo que mantém estritamente e wlog que , temos $(4)$ $\sigma=1$

3 (m - μ) \in (0 0, 3 \sqrt{0,6}] e M - μ \in (m - μ, \sqrt{3}]

$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$

e como o segundo desses dois intervalos não está vazio, certamente é possível encontrar distribuições para as quais a asserção é verdadeira (por exemplo, quando ) para alguma faixa de valores dos parâmetros da distribuição, mas isso não é verdadeiro para todas as distribuições e nem mesmo para todas as distribuições satisfatórias . $0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$ $(4)$

[0]: O problema do momento para distribuições unimodais. NL Johnson e CA Rogers. Os Anais de Estatística Matemática, vol. 22, n. 3 (setembro de 1951), pp. 433-439
[1]: A desigualdade no modo médio-mediano: contra-exemplos Karim M. Abadir Econometric Theory, vol. 21, nº 2 (abril de 2005), pp. 477-482
[2]: WR van Zwet, Média, mediana, modo II, Estatista. Neerlandica, 33 (1979), pp.
[3]: A média, mediana e modo de distribuição unimodal: uma caracterização. S. Basu e A. DasGupta (1997). Teoria Probab. Appl. 41 (2), 210-223.
[4]: Algumas observações sobre média, mediana, modo e assimetria. Michikazu Sato. Jornal Australiano de Estatística. Volume 39, Edição 2, páginas 219–224, junho de 1997
[5]: PT von Hippel (2005). Média, mediana e inclinação: corrigindo uma regra de livro didático. Journal of Statistics Education Volume 13, Número 2.

— user603
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Sinto muito, sou apenas um estudante de matemática do primeiro ano. Você poderia fornecer / recomendar um link / livro / artigo que descreve como o relacionamento foi derivado?

— Sara

@ Sara Eu acho que remonta a Karl Pearson, que usa esse relacionamento empírico por sua "distorção do modo Pearson". Além disso, você pode achar interessante este artigo online, j.mp/aWymCv .

— quer

Obrigado chl e kwak pelo link e pela resposta que você forneceu. Eu os estudarei.

— Sara

Vários pontos:é minimizado quando é a mediana de . O artigo de Von Hippel ( link acima por chl) discute exceções e btinternet.com/~se16/hgb/median.htm mostra a possível relação entre média, mediana, modo e desvio padrão, tanto para distribuições contínuas quanto para discretas. Os 3 podem de fato ter qualquer valor: positivo, negativo, zero ou infinito.

E | X - k |

$E|X-k|$

k

$k$

X

$X$

— Henry

Pode ser que eu esteja sendo um pouco densa (não seria a primeira vez). Você pode esclarecer comosegue de (1) e (3)?

| M - μ | \leq 3 | μ - m |

$|M-\mu|\leq 3|\mu-m|$

— Glen_b -Reinstala Monica

O artigo chl aponta para informações importantes - mostrando que ela não é próxima de uma regra geral (mesmo para variáveis contínuas, suaves e "bem comportadas", como o Weibull). Portanto, embora possa ser aproximadamente verdadeiro, geralmente não é.

Então, de onde vem Pearson? Como ele chegou a essa aproximação?

Felizmente, Pearson nos diz a resposta.

O primeiro uso do termo "inclinação" no sentido em que estamos usando parece ser Pearson, 1895 [1] (aparece exatamente no título). Este documento também parece ser o local onde ele introduz o termo modo (nota de rodapé, p345):

Achei conveniente usar o termo modo para as abcissas correspondentes às ordenadas de frequência máxima. O "médio", o "modo" e a "mediana" têm todos os caracteres distintos importantes para o estatístico.

Também parece ser seu primeiro detalhamento real de seu sistema de curvas de frequência .

Portanto, ao discutir a estimativa do parâmetro de forma na distribuição Pearson Tipo III (o que chamamos agora de gama deslocada - e possivelmente invertida), ele diz (p375):

$p$ $^\dagger$

$>1$

$\dagger$ $x$

E, de fato, se observarmos a proporção de (modo médio) para (média mediana) para a distribuição gama, observaremos o seguinte:

insira a descrição da imagem aqui

(A parte azul marca a região em que Pearson diz que a aproximação é razoável).

$\alpha$ $\beta$

insira a descrição da imagem aqui

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$ $\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$ $\alpha$ $\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$ $\alpha$ $\beta$ $\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$ $\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha>10$

insira a descrição da imagem aqui

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$ $e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$ $\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$ $\sigma^2$ $\frac{3}{2}\sigma^2$ $\frac{1}{2}\sigma^2$ $\sigma^2$

Há um número razoável de distribuições conhecidas - muitas das quais a Pearson estava familiarizada -, das quais é quase verdade para uma ampla gama de valores de parâmetros; ele notou isso com a distribuição gama, mas teria a ideia confirmada quando viesse a examinar várias outras distribuições que provavelmente consideraria.

[1]: Pearson, K. (1895),
"Contribuições para a Teoria Matemática da Evolução, II: Variação Inclinada em Material Homogêneo",
Transações Filosóficas da Royal Society, Série A, 186, 343-414
[Fora dos direitos autorais. Disponível gratuitamente aqui ]

— Glen_b -Reinstate Monica
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Esse relacionamento não foi derivado. Percebeu-se que ele mantinha aproximadamente distribuições quase simétricas empiricamente . Veja a exposição de Yule em A introdução à teoria da estatística (1922), p.121, capítulo VII, seção 20. Ele apresenta o exemplo empírico.

— Aksakal
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De fato, minha citação de Pearson 1895 indica que é algo que ele notou e não derivou.

— Glen_b -Reinstala Monica

Textos de matemática de idade são muito mais divertido de ler do que escrever de hoje

— Aksakal