Quais processos podem gerar dados ou parâmetros distribuídos por Laplace (duplo exponencial)?

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Muitas distribuições têm "mitos de origem" ou exemplos de processos físicos que descrevem bem:

Você pode obter dados normalmente distribuídos a partir de somas de erros não correlacionados pelo Teorema do Limite Central
Você pode obter dados distribuídos binomialmente de lançamentos independentes de moedas ou variáveis distribuídas por Poisson a partir de um limite desse processo
Você pode obter dados distribuídos exponencialmente de tempos de espera sob uma taxa de decaimento constante.

E assim por diante.

Mas e a distribuição Laplace ? É útil para regularização de L1 e regressão de LAD , mas é difícil para mim pensar em uma situação em que alguém realmente deve esperar vê-la na natureza. A difusão seria gaussiana e todos os exemplos em que posso pensar com distribuições exponenciais (por exemplo, tempos de espera) envolvem valores não negativos.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
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Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

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Na parte inferior da página da Wikipedia que você vinculou, existem alguns exemplos:

Se e são distribuições exponenciais de IID, $X_1$ $X_2$ possui uma distribuição Laplace. $X_1 - X_2$
Se são distribuições normais padrão do IID, possui uma distribuição padrão de Laplace. Portanto, o determinante de uma matriz aleatória com entradas normais padrão do IID $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ tem uma distribuição de Laplace. $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Se são IID uniformes em , $X_1, X_2$ $[0,1]$ $\log \frac{X_1}{X_2}$ tem uma distribuição padrão de Laplace.

— Douglas Zare
fonte

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+1 Pode valer a pena notar que todos os três exemplos são realmente os mesmos: # 2 pode ser reescrito como

, uma diferença em escala de dois

escala

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ Distribuições (exponenciais) e # 3 é a diferença de duas distribuições exponenciais porque o

é exponencial.

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

— whuber

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@ whuber: Obrigado por essa explicação por que o determinante era o mesmo que os outros! Fiquei surpreso ao vê-lo, pois teria imaginado que a densidade do determinante variasse suavemente, como acontece em todos os lugares, exceto

.

0

$0$

— Douglas Zare

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Então, estou tentando pensar em uma "história" que se encaixe em qualquer um dos exemplos da wikipedia. Digamos que eu esteja jogando pinball com meu irmão igualmente péssimo. Cada jogo jogamos uma bola cada. Aproximadamente a qualquer momento, há uma chance igual de eu (ou ele) perder uma bola e a pontuação é basicamente uma função linear de quanto tempo jogo. Então minha pontuação (e a dele) poderiam ser modeladas por uma distribuição exponencial e a diferença entre a pontuação de mim e do meu irmão a cada rodada será distribuída em Laplace. Tipo de obras?

— Rasmus Bååth

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Defina uma distribuição geométrica composta como a soma das variáveis aleatórias $N_p$ iid $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , em que $N_p$ é distribuído como uma distribuição geométrica com o parâmetro $p$ . Suponha que as variáveis aleatórias iid $X_i$ tenham média finita $\mu$ e variância $v$ .

Foi demonstrado por Gnedenko que no limite $p\to 0$ , a distribuição geométrica composta se aproxima de uma distribuição de Laplace.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

A densidade de $Laplace(a,b)$ é $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

BV Gnedenko, teoremas do limite para Soma do número aleatório de variáveis aleatórias independentes positivas, Proc. 6º Simpósio de Berkeley em Matemática. Estado. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
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