Distribuição normal padrão em um subespaço

Seja um espaço vetorial com . Uma distribuição normal padrão em é a lei de um vetor aleatório assumindo valores em e de modo que as coordenadas de em uma ( em qualquer) base ortonormal de sejam um vetor aleatório feita de distribuições normais padrão independentes . $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

Ao ler esta pergunta, me fiz a seguinte pergunta. Seja uma distribuição normal padrão em . É verdade que a distribuição condicional de dado é a distribuição normal padrão em ? $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

A norma ao quadrado de tem uma distribuição qui-quadrado . Portanto, se isso for verdade, isso explicaria a afirmação de @ Argha. ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

Desculpe se o LaTeX está digitado incorretamente, não vejo a renderização do LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Ok, entendo. Escreva $y=u+v$ decomposição ortogonal de $y$ em $U\oplus U^\perp$ . Então

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . Isso mostra que

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . Isso é um pouco heurístico, mas moralmente correto. Finalmente, é claro a partir da definição que

P_{U} Y

$P_U Y$ é normal padrão em

U

$U$ .

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
fonte

Isso não é terrivelmente óbvio quando você observa que uma base ortonormal para sempre pode ser construída estendendo qualquer base ortonormal para ? (Uma prova: use o Gram-Schmidt em qualquer extensão, seja ele ortodoxo ou não.) Nesta base, o PDF é separável e, por sorte, é o padrão normal em , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber Por favor, você poderia elaborar uma resposta? Como você obtém a distribuição condicional?

— Stéphane Laurent

Você apenas olha ! Quando um absolutamente contínua PDF factores como , então (a) e são independentes e (b) e são as distribuições condicionais .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber Estou voltando do trabalho. Vou pensar sobre isso mais tarde. Obrigado. Claro que acredito que isso é óbvio, mas estou cansado.

— Stéphane Laurent

Sim. Você tem que é um subespaço de . Seja e a matriz de projeção ortogonal em , de modo que seja simétrico e idempotente. Então . Esta é uma distribuição normal singular, que no subespaço é o normal padrão nesse subespaço. Como uma distribuição singular, ele não tem uma densidade em relação a medida de volume em , mas ele tem uma densidade no que diz respeito ao (inferior-dim) medida de volume na . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
fonte

Não vejo onde você prova que tem a mesma lei que condicional a ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

Observe que, abstratamente, a probabilidade condicional (realmente expectativa, de obter um espaço linear ...) é uma projeção! Assim condicionado em , quando é um subespaço linear, é o mesmo que se projecta em .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— Kjetil b halvorsen

Desculpe, mas sua reivindicação não faz sentido.

— Stéphane Laurent

Essa é a intuição, uma prova talvez deva ser diferente. Eu estou fora de tempo, mas nota que a distribuição normal multivariada pode ser especificada através da especificação de distribuição (normal) de todas as combinações lineares dos componentes de . Quando a matriz de covariância é a projecção , escolher como uma base ortonormal de . pode ser escrita . Escolha como coeficiente para a combinação linear de , você verá que a variação é uma. Escolha para o coeficiente um vetor de comprimento um ortogonal a , você verá que a variação é zero.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Assim, a distribuição de coincide com o padrão normal em , que é a distribuição condicional de dada .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Kjetil b halvorsen