Análise de potência para dados binomiais quando a hipótese nula é de que

Eu gostaria de fazer uma análise de potência para uma única amostra de dados binomiais, com vs. , em que é a proporção de sucessos na população. Se , eu poderia usar a aproximação normal ao binômio ou -test, mas com , ambos falham. Eu adoraria saber se existe uma maneira de fazer essa análise. Eu gostaria muito de receber sugestões, comentários ou referências. Muito Obrigado! $H_0: p = 0$ $H_1: p = 0.001$ $p$ $0 < p <1$ $\chi^2$ $p =0$

— user765195
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Então, por que você não usa o teste exato de Clopper-Pearson?

— Stéphane Laurent

Espero que você tenha uma amostra realmente grande! Isso vai ser difícil de testar.

— Peter Flom - Restabelece Monica

Respostas:

Você tem um one-sided, hipótese exata alternativa onde e . $p_{1} > p_{0}$ $p_{1} = 0.001$ $p_{0} = 0$

O primeiro passo é identificar um limite para o número de sucessos, de modo que a probabilidade de obter pelo menos sucessos em uma amostra de tamanho seja muito baixa sob a hipótese nula (convencionalmente ). No seu caso, , independentemente da sua escolha específica para e . $c$ $c$ $n$ $\alpha = 0.05$ $c=1$ $n \geqslant 1$ $\alpha > 0$
O segundo passo é descobrir a probabilidade de obter pelo menos sucessos em uma amostra de tamanho sob a hipótese alternativa - esse é o seu poder. Aqui, você precisa de um fixo para que a distribuição Binomial seja totalmente especificada. $c$ $n$ $n$ $\mathcal{B}(n, p_{1})$

O segundo passo em R com : $n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

Para ter uma idéia de como a energia muda com o tamanho da amostra, você pode desenhar uma função de energia: insira a descrição da imagem aqui

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

Se você deseja saber qual tamanho de amostra precisa para obter pelo menos uma potência pré-especificada, use os valores de potência calculados acima. Digamos que você queira uma potência de pelo menos . $0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

Portanto, você precisa de um tamanho de amostra de pelo menos para obter uma potência de . $693$ $0.5$

— caracal
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De acordo com pwr.p.test, para uma potência de 0,5, você precisa de pelo menos 677 observações. Mas poder = 0,5 é muito baixo!

— 1112 Jessica

@caracal Você está usando uma aproximação normal para obter sua curva de potência? Uma função exata de potência binomial não seria tão suave. Na verdade, é um dente de serra que você pode ver se o eixo do tamanho da amostra é ampliado. Discuto isso em meu artigo de 2002 no American Statistician, em co-autoria com Christine Liu. Além disso, o binômio é tão altamente inclinado em p muito baixo que n deve ser grande para que a aproximação normal funcione bem.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Não, isso é das distribuições binomiais, não de uma aproximação normal. É claro que você está certo de que - em geral - a potência de um teste binomial é uma função dente de serra que não é monotônica. Mas observe que temos um caso especial aqui com . Isso significa que a região de aceitação para a hipótese alternativa sempre começa em 1, independentemente de . Com um limite constante , uma constante , a potência é uma função estritamente crescente de .

p_{0} = 0

$p_{0} = 0$

n

$n$

c = 1

$c = 1$

p_{1} = 0.001

$p_{1} = 0.001$

n

$n$

— caracal

@ Jessica Note que pwr.p.test()usa uma aproximação normal, não as distribuições binomiais exatas. Basta digitar pwr.p.testpara dar uma olhada no código fonte. Você encontrará as chamadas para pnorm()indicar que uma aproximação é usada.

— Caracal #

@caracal Então, posso olhar para o seguinte: sob a hipótese nula, a probabilidade de sucesso é 0; portanto, se você vir um sucesso, poderá rejeitar a hipótese nula. É por isso que você diz que o limite é 1 porque, se a soma binomial chegar a 1, você poderá rejeitar com um erro do tipo 2 de 0! Agora, sob a alternativa, a probabilidade do primeiro sucesso no enésimo teste é (1-p) p. Essa probabilidade vai para 0 quando n vai para o infinito. Portanto, uma regra seqüencial quando S = 1 teria potência 1 para qualquer p> 0.

^{n}

$^n$

^{-}

$^-$

^{1}

$^1$

_{n}

$_n$

— Michael R. Chernick

Você pode responder facilmente a essa pergunta com o pwrpacote em R.

Você precisará definir um nível de significância, poder e tamanho de efeito. Normalmente, o nível de significância é definido como 0,05 e o poder é definido como 0,8. Maior poder exigirá mais observações. Um nível de significância mais baixo diminuirá o poder.

O tamanho do efeito para as proporções usadas neste pacote é o h de Cohen. O ponto de corte para um pequeno h geralmente é de 0,20. O limite real varia de acordo com a aplicação e pode ser menor no seu caso. H menor significa que mais observações serão necessárias. Você disse que sua alternativa é . Isso é muito pequeno $p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

Mas ainda podemos prosseguir.

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

Usando esses valores, você precisa de pelo menos 1546 observações.

— Jessica
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No seu caso específico, há uma solução exata simples:

Sob a hipótese nula específica você nunca deve observar um sucesso. Portanto, assim que você observar um sucesso, tenha certeza de que . $H_0: p=0$ $p\neq0$

Sob a alternativa O número de tentativas necessárias para observar pelo menos 1 sucesso segue uma distribuição geométrica. Portanto, para obter o tamanho mínimo da amostra para atingir uma potência de , é necessário encontrar o menor k de modo que, $H_1: p=0.001$ $1-\beta$

1 - β \leq 1 - (1 - p)^{(k - 1)}

$1-\beta \leq 1-(1-p)^{(k-1)}$

Portanto, com para obter potência, você precisaria de pelo menos 1610 amostras. $p=0.001$ $80%$

— flutuador
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Ao ler os comentários da solução 1, percebo que essa é essencialmente a mesma solução que a que você obtém se preferir responder a uma. No entanto, nunca é difícil explicar alguns resultados básicos da teoria das probabilidades, sem a necessidade de chegar lá por intuição.

— flutuador