Problema na identificação de parâmetros

Eu sempre luto para obter a verdadeira essência da identificação na econometria. Eu sei que afirmamos que um parâmetro (digamos ) pode ser identificado se, simplesmente olhando para sua distribuição (conjunta), pudermos inferir o valor do parâmetro. Em um caso simples de , onde , podemos afirmar que é identificado se soubermos que sua variância . Mas e se onde é um parâmetro desconhecido? Pode e ser identificados? $\hat{\theta}$ $y=b_1X+u$ $E[u]=0,E[u|x]=0$ $b_1$ $Var(\hat{b})>0$ $E[u|X]=a$ $a$ $a$ $b_1$

Se eu expandir o modelo para onde e , para mostrar que estão identificados, faça Eu simplesmente tenho que reafirmar que a variação para todos os três parâmetros é maior que zero? $Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$ $D\in\{0,1\}$ $E[u|X,D]=0$ $b_1,b_2,b_3$

Agradeço toda a ajuda em limpar minha mente com relação à identificação.

estimation identifiability

— CharlesM
fonte

Foi-me dito que, para o modelo com a variável dummy, eu simplesmente tenho que mostrar que existe ... significando que os determinantes dessa matriz não são iguais a 0. Correto?

[X^{'} X]^{- 1}

$[X'X]^{-1}$

— CharlesM

Eu também postou pergunta sobre a troca de matemática e nada ....

— CharlesM

Isso ajuda ou apenas mais do que você já sabe? Notas do curso da UChicago

— kirk

Vamos primeiro definir os seguintes objetos: Em um modelo estatístico usado para modelar como uma função de , existem parâmetros denotados por vetor . Esses parâmetros podem variar dentro do espaço de parâmetros . Não estamos interessados na estimativa de todos esses parâmetros, mas apenas de um determinado subconjunto, digamos em dos parâmetros que denotamos e que variam dentro do espaço de parâmetros . Em nosso modelo as variáveis e os parâmetros $M$ $Y$ $X$ $p$ $\theta$ $\Theta \subset \mathbb{R^p}$ $q \leq p$ $\theta^0$ $\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$ $M$ $X$ $\theta$ vai agora ser mapeada como para explicar . Esse mapeamento é definido por e pelos parâmetros. $Y$ $M$

Nesse cenário, a identificabilidade diz algo sobre a Equivalência Observacional . Em particular, se os parâmetros forem identificáveis em então ele sustentará que $\theta^0$ $M$ $\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$ . Em outras palavras, não existe um vector de parâmetros diferentes que iria induzir o mesmo processo de geração de dados, tendo em conta a especificação do modelo . Para tornar esses conceitos mais concebíveis, dou dois exemplos. $\theta^1$ $M$

Exemplo 1 : Defina para ; o modelo estatístico simples : e supor que (de modo $\theta = (a,b)$ $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ $M$

\begin{aligned} Y = a + X b + ε \end{aligned}

$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b) \in \mathbb{R^2}$

). Fica claro que, se

, sempre será válido que

é identificável: O processo que gera

partir de

tem uma relação de

com os parâmetros

. Fixando

, não será possível encontrar uma segunda tupla em

descrevendo o mesmo Processo de Geração de Dados.

Θ = R^{2}

$\Theta = \mathbb{R^2}$

θ^{0} = (a, b)

$\theta^0 = (a,b)$

θ^{0} = a

$\theta^0 = a$

θ^{0}

$\theta^0$

Y

$Y$

X

$X$

1 : 1

$1:1$

a

$a$

b

$b$

(a, b)

$(a,b)$

R

$\mathbb{R}$

Exemplo 2 : Defina para ; o modelo estatístico mais complicado : $\theta = (a,b,c)$ $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ $M'$ e supor quee(modo). Enquanto para, esse seria um modelo estatístico identificável, não será válido se um incluir outro parâmetro (isto é,

\begin{aligned} Y = a + X (\frac{b}{c}) + ε \end{aligned}

$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b) \in \mathbb{R^2}$

c \in R ∖ {0}

$c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

Θ = R^{3} ∖ {(l, m, 0) | (l, m) \in R^{2}}

$\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$

θ^{0}

$\theta^0$

b

$b$ ou

) Por quê? Porque para qualquer par de

, existem infinitamente muitos outros pares no conjunto

. A solução óbvia para o problema nesse caso seria a introdução de um novo parâmetro

c

$c$

(b, c)

$(b,c)$

B := {(x, y) | (x / y) = (b / c), (x, y) \in R^{2}}

$B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$

d = b / c

$d = b/c$ substituindo a fração para identificar o modelo. No entanto, pode-se estar interessado em

como parâmetros separados por razões teóricas - os parâmetros podem corresponder aos parâmetros de interesse em uma (econômico) sentido teoria. (Por exemplo,

pode ser 'propensão a consumir' e

pode ser 'confiança', e você pode querer estimar essas duas quantidades a partir do seu modelo de regressão. Infelizmente, isso não seria possível.)

b

$b$

c

$c$

b

$b$

c

$c$

— Jeremias K
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θ^{1}

$\theta^1$

@ whuber que é um bom ponto. O que eu deveria ter dito é que "Não existe ... isso induziria o mesmo processo de geração de dados ". Eu mudei isso agora :)

— Jeremias K