Modelos Mistos: Como derivar as equações de modelo misto de Henderson?

No contexto dos melhores preditores imparciais não lineares (BLUP), Henderson especificou as equações do modelo misto (ver Henderson (1950): Estimation of Genetic Parameters. Annals of Mathematics Statistics, 21, 309-310). Vamos assumir o seguinte modelo de efeitos mistos:

$y = X\beta+Zu+e$

Onde $y$ é um vetor de n variáveis ​​aleatórias observáveis, $\beta$ é um vetor de $p$ efeitos fixos, $X$ e $Z$ são matrizes conhecidas e $u$ e $e$ re vetores de $q$ e $n$ efeitos aleatórios tais que $E(u) = 0$ e $E(e) = 0$ e

$Var \begin{bmatrix} u \\ e \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G & 0 \\ 0 & R \\ \end{bmatrix}\sigma^2$

Onde $G$ e $R$ são conhecidas matrizes definidas positivas e $\sigma^2$ é uma constante positiva.

Segundo Henderson (1950), as estimativas do BLUP de $\hat {\beta}$ do $\beta$ e $\hat {u}$ do $u$ são definidos como soluções para o seguinte sistema de equação:

$X'R^{-1}X\hat {\beta}+X'R^{-1}Z\hat {u} = X'R^{-1}y$

$Z'R^{-1}X\hat {\beta}+(Z'R^{-1}Z + G^{-1})\hat {u} = Z'R^{-1}y$

(Veja também: Robinson (1991): Que o BLUP é uma coisa boa: a estimativa de efeitos aleatórios (com discussão). Statistical Science, 6: 15–51).

Não encontrei nenhuma derivação dessa solução, mas assuma que ele a abordou da seguinte maneira:

$(y - X\beta - Zu)'V^{-1}(y - X\beta - Zu)$

Onde $V = R + ZGZ'$. Portanto, as soluções devem ser

$X'V^{-1}X\hat {\beta} + X'V^{-1}Z\hat {u} = X'V^{-1}y$

$Z'V^{-1}X\hat {\beta} + Z'V^{-1}Z\hat {u} = Z'V^{-1}y$.

Também sabemos que $V^{-1} = R^{-1} - R^{-1}Z(G^{-1}+Z'R^{-1}Z)Z'R^{-1}$.

No entanto, como proceder para chegar às equações do modelo misto?

Uma abordagem é formar a probabilidade logarítmica e diferenciá-la em relação aos efeitos aleatórios $\mathbf{u}$ e defina isso como zero, repita, mas diferencie com relação aos efeitos fixos $\boldsymbol{\beta}$.

Com as suposições usuais de normalidade, temos:

$$\begin{align*} \mathbf{y|u} &\sim \mathcal{N}\mathbf{(X\beta + Zu, R)} \\ \mathbf{u} &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0, G}) \end{align*}$$ onde é o vetor de resposta, e são os efeitos aleatórios e os vetores de coeficiente de efeitos fixos e são matrizes de modelo para os efeitos fixos e aleatórios, respectivamente. A probabilidade de log é então:$\mathbf{y}$$\mathbf{u}$$\boldsymbol{\beta}$$\mathbf{X}$$\mathbf{Z}$

$$-2\log L(\boldsymbol{\beta,\theta,}\mathbf{u}) = \log|\mathbf{R}|+(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu})'\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) +\log|\mathbf{G}|+\mathbf{u'G^{-1}u}$$ Diferenciando os efeitos aleatórios e fixos: Após definir ambos iguais a zero, com algumas Na organização, obtemos as equações do modelo misto de Henderson: $$\begin{align*} \frac{\partial \log L}{\partial \mathbf{u}} &= \mathbf{Z'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) - \mathbf{G^{-1}u} \\ \frac{\partial \log L}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{X'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathbf{Z'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{Z'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{u(Z'R^{-1}Z+G^{-1})} \\ \mathbf{X'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{X'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{uX'R^{-1}Z} \end{align*}$$