Os estimadores eficientes imparciais são estocamente dominantes em relação a outros estimadores imparciais (medianos)?

Descrição geral

Um estimador eficiente (que tem variação de amostra igual ao limite Cramér – Rao) maximiza a probabilidade de estar próximo ao parâmetro verdadeiro ?$\theta$

Digamos que comparemos a diferença ou diferença absoluta entre a estimativa e o parâmetro verdadeiro

$$\hat\Delta = \hat \theta - \theta$$

A distribuição de para um estimador eficiente é estocástica dominante sobre a distribuição de para qualquer outro estimador imparcial?$\hat\Delta$$\tilde\Delta$

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Motivação

Estou pensando sobre isso por causa da pergunta Estimador que é ideal em todas as funções sensíveis de perda (avaliação), onde podemos dizer que o melhor estimador imparcial em relação a uma função de perda convexa também é o melhor estimador imparcial em relação a outra função de perda (De Iosif Pinelis, 2015, Caracterização dos melhores estimadores imparciais: arXiv preprint arXiv: 1508.07636 ). O domínio estocástico por estar próximo ao parâmetro verdadeiro parece ser semelhante a mim (é uma condição suficiente e uma afirmação mais forte).

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Expressões mais precisas

A declaração da pergunta acima é ampla, por exemplo, que tipo de imparcialidade é considerada e temos a mesma métrica de distância para diferenças negativas e positivas?

Vamos considerar os dois casos a seguir para tornar a questão menos ampla:$^\dagger$

Conjectura 1: Se é um estimador eficiente de média e mediana. Então, para qualquer estimador médio e sem vieses que e$\hat \theta$$\tilde \theta$

$$\text{if $x>0$ then } P[\hat\Delta \leq x] \geq P[\tilde\Delta \leq x] \\ \text{if $x<0$ then } P[\hat\Delta \geq x] \geq P[\tilde\Delta \geq x]$$ Δ = θ - θ ~ Δ = ~ θ - θ$\hat \Delta = \hat \theta - \theta$$\tilde \Delta = \tilde \theta - \theta$

Conjectura 2: Se é um estimador eficiente e isento de médias. Então, para qualquer estimador sem médios e$\hat \theta$$\tilde \theta$$x>0$

$$P[\vert \hat\Delta \vert \geq x] \leq P[\vert \tilde\Delta \vert \geq x]$$

• As conjecturas acima são verdadeiras?
• Se as proposições são muito fortes, podemos adaptá-las para fazer funcionar?

^{$\dagger$ O segundo está relacionado ao primeiro, mas elimina a restrição da imparcialidade da mediana (e, em seguida, precisamos juntar os dois lados ou a proposta seria falsa para qualquer estimador que tenha uma mediana diferente da estimada eficiente).}

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Exemplo, ilustração:

Considere a estimativa da média da distribuição de uma população (que se supõe distribuição normal) por (1) a mediana da amostra e (2) a média da amostra.$\mu$

No caso de uma amostra de tamanho 5, e quando a verdadeira distribuição da população é isso se parece com$N(0,1)$

Na imagem, vemos que o CDF dobrado da média da amostra (que é um estimador eficiente para ) está abaixo do CDF dobrado da mediana da amostra. A questão é se o CDF dobrado da média da amostra também está abaixo do CDF dobrado de qualquer outro estimador imparcial.$\mu$

Como alternativa, usando o CDF em vez de CDFs dobrados, podemos perguntar se o CDF de uma média maximiza a distância de 0,5 em cada ponto. Sabemos que

$$\forall \hat \theta : |F_{mean}(\hat \theta)-0.5| \geq |F_{median}(\hat \theta)-0.5|$$

também temos isso quando substituímos pela distribuição de qualquer outro estimador médio e isento de mediana?$F_{median}(\hat \theta)$

$(X_1,\ldots,X_N)$$\mathcal{C}(\mu,1)$$\mu$

1. $\hat{\mu}_1= \text{median}(X_1,\ldots,X_N)=X_{(N/2)}$
2. $\hat{\mu}_2= \text{mean}(X_{(N/4)},\ldots,X_{(3N/4)})=\frac{2}{N}(X_{(N/4)}+\ldots+X_{(3N/4)})$
3. $\hat{\mu}_3=\mu^\text{MLE}$
4. $\hat{\mu}_4=\hat{\mu}_1+\frac{2}{N}\frac{\partial \ell}{\partial \mu}(\hat{\mu}_1)$

$\hat{\mu}_3$$\hat{\mu}_4$$\hat{\mu}_1$$\hat{\mu}_2$

Uma representação das diferenças para o cdf empírico do MLE torna mais claro:

Aqui está o código R correspondente:

T=1e4
N=11
mlechy=function(x){
  return(optimize(function(theta) -sum(dcauchy(x, 
    location=theta, log=TRUE)),  c(-100,100))$minimum)
}
est=matrix(0,T,4)
for (t in 1:T){
cauc=sort(rcauchy(N))
est[t,1]=median(cauc)
est[t,2]=mean(cauc[4:8])
est[t,3]=mlechy(cauc)
est[t,4]=est[t,1]+(4/N)*sum((cauc-est[t,1])/(1+(cauc-est[t,1])^2))
}

plot(ecdf(est[,1]),col="steelblue",cex=.4,xlim=c(-1,1),main="",ylab="F(x)")
plot(ecdf(est[,2]),add=TRUE,col="sienna",cex=.4)
plot(ecdf(est[,3]),add=TRUE,col="gold",cex=.4)
plot(ecdf(est[,4]),add=TRUE,col="tomato",cex=.4)