Encontrando uma maneira de simular números aleatórios para esta distribuição

Eu estou tentando escrever um programa em R que simula números pseudo-aleatórios de uma distribuição com a função de distribuição cumulativa:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

onde$a,b>0, p \in (0,1)$

Tentei amostragem por transformada inversa, mas a inversa não parece analiticamente solucionável. Ficaria feliz se você pudesse sugerir uma solução para este problema

Existe uma solução direta (e, se for o caso, elegante) para este exercício: como aparece como um produto de duas distribuições de sobrevivência: a distribuição é a distribuição de Nesse caso, é a distribuição exponencial e é o -ésimo poder de uma distribuição Exponencial .$1-F(x)$

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ $F$ $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ $F_1$$\mathcal{E}(a)$$F_2$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$

O código R associado é o mais simples possível

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

e é definitivamente muito mais rápido que o pdf inverso e as resoluções de aceitação e rejeição:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

com um ajuste surpreendentemente perfeito:

Você sempre pode resolver numericamente a transformação inversa.

Abaixo, faço uma pesquisa de bissecção muito simples. Para uma dada probabilidade de entrada (eu uso desde que você já tenha um em sua fórmula), começo com e . Então até . Por fim, iterativamente o intervalo até que seu comprimento seja menor que e seu ponto médio satisfaça .$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

O ECDF se adequa ao seu bem o suficiente para minhas escolhas de e , e é razoavelmente rápido. Você provavelmente poderia acelerar isso usando alguma otimização do tipo Newton, em vez da simples pesquisa de bissecção.$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Existe uma resolução um tanto complicada, se direta, por aceitação-rejeição. Primeiro, uma diferenciação simples mostra que o pdf da distribuição é Segundo, uma vez que temos o limite superior Terceiro, considerando o segundo termo em , faça a alteração da variável , ou seja, . Então é o jacobiano da mudança de variável. Se

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$tem uma densidade na forma que é a constante de normalização, então tem a densidade que significa que (i) é distribuído como uma variável exponencial e (ii) a constante é igual a um. Portanto, acaba sendo igual à mistura igualmente ponderada de uma distribuição Exponential e a -ésima potência de uma Exponential$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$distribuição, module uma constante multiplicativa ausente de para explicar os pesos: E é simples de simular como uma mistura.$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

Uma renderização R do algoritmo de aceitação-rejeição é assim

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

e para uma n-amostra:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

Aqui está uma ilustração para a = 1, b = 2, p = 3: