Distribuições em subconjuntos de

Gostaria de saber se há algum tipo de distribuição padrão em subconjuntos de números inteiros . De maneira equivalente, poderíamos expressar isso como uma distribuição em um vetor de comprimento de resultados binários, por exemplo, se então corresponde ao vetor . $\{1, 2, ..., J\}$ $J$ $J = 5$ $\{1, 3, 5\}$ $(1, 0, 1, 0, 1)$

Idealmente, o que estou procurando é alguma distribuição , proveniente de uma família indexada por um parâmetro dimensional finito , que distribuiria sua massa de tal maneira que dois vetores binários e terão probabilidade de se eles são "fechar" em conjunto, ou seja, e têm probabilidades semelhantes. Realmente, o que pretendo fazer é colocar um prior em modo que, se eu sei que é bastante grande, então provavelmente seja grande em relação a vetores distantes de . $\nu_\theta (\cdot)$ $\theta$ $r_1$ $r_2$ $r_1 = (0, 0, 1, 0, 1)$ $r_2 = (0, 0, 1, 1, 1)$ $\theta$ $\nu_\theta (r_1)$ $\nu_\theta (r_2)$ $r_1$

Uma estratégia que vem à mente seria colocar uma métrica ou alguma outra medida de dispersão em em e, em seguida, tomar ou algo semelhante. Um exemplo explícito seria em analogia com a distribuição normal. Tudo bem, mas espero que exista algo padrão e favorável à análise bayesiana; com isso, não consigo anotar a constante de normalização. $d_\theta$ $\{0, 1\}^J$ $\nu_\theta (r) \propto \exp (-d_\theta (r, \mu))$ $\exp\left\{-\|r - \mu\|^2 / (2 \sigma^2)\right\}$

bayesian discrete-data

— cara
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A amostragem de um subconjunto é um problema básico na metodologia de pesquisa.

— Stéphane Laurent

@ Stephane claro, mas acho que meu problema difere, pois tenho uma estrutura adicional desejada que gostaria que minha distribuição refletisse. Talvez formular a pergunta em termos de subconjuntos tenha sido uma má idéia, pois tenho uma vaga noção de distância trabalhando para mim.

— cara

Você queria escrever "... então provavelmente é pequeno ..."? No que diz respeito à constante de normalização, considere usar a distância de Hamming para métrica: para famílias de distribuições em escala de local, é possível calcular essa constante como a soma de apenas termos . Além disso, todas essas famílias que atendem aos seus critérios podem ser descritas apenas por parâmetros discretos (para a localização) e por parâmetros contínuos.

v_{θ} (r_{2})

$v_\theta(r_2)$

J + 1

$J+1$

J

$J$

J

$J$

— whuber

@ Whuber não, eu quis dizer grande. Quero que distribua sua massa em torno de pontos próximos. Provavelmente teria sido mais apropriado formular a pergunta como uma distribuição nas vértices de um hipercubo. Eu tinha considerado a distância de Hamming (que eu acho que é a mesma que no meu caso); Eu provavelmente gostaria de ajustá-lo como, e eu acho que provavelmente teria que fazer algum MCMC para fazer uma amostra dessa distribuição.

ν_{θ} (\cdot)

$\nu_\theta (\cdot)$

L_{1}

$L_1$

\sum | \frac{r_{i} - μ_{i}}{σ_{i}} |

$\sum \left|\frac{r_i - \mu_i}{\sigma_i}\right|$

— guy

Oh, eu vejo agora. Mas não foi isso que você disse originalmente. Por exemplo, na sua caracterização, se for grande e for o conjunto de vetores "distantes" de e for qualquer vetor que não esteja em , então também deverá "provavelmente" seja grande. Mas "não muito longe" e "perto" não significam exatamente as mesmas coisas. Seria mais simples - e mais consistente internamente - reformular a condição como você fez no seu comentário. Mas não, você não precisa do MCMC para amostrar a partir de distribuições em escala de localização com base nas distâncias de Hamming: existem maneiras muito mais eficientes.

ν (r_{1})

$\nu(r_1)$

R

$R$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

R

$R$

ν (r_{2})

$\nu(r_2)$

— whuber

Respostas:

Você pode favorecer famílias de locais com base na distância de Hamming , devido à sua riqueza, flexibilidade e capacidade de processamento computacional.

Notação e definições

Lembre-se de que em um módulo de dimensão finita livre com base , a distância de Hamming entre dois vetores e é o número de lugares , onde . $V$ $\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_J\right)$ $\delta_H$ $\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + v_J\mathbf{e}_J$ $\mathbf{w}=w_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + w_J\mathbf{e}_J$ $i$ $v_i \ne w_i$

Dada qualquer origem , a distância de Hamming particiona nas esferas , , em que . Quando o anel de aterramento possui elementos, possui elementos e possui . (Isso ocorre imediatamente após observar que os elementos de diferem de exatamente em locais - dos quais existem $\mathbf{v}_0\in V$ $V$ $S_i(\mathbf{v}_0)$ $i=0, 1, \ldots, J$ $S_i(\mathbf{v}_0) = \{\mathbf{w}\in V\ |\ \delta_H(\mathbf{w}, \mathbf{v}_0) = i\}$ $n$ $V$ $n^J$ $S_i(\mathbf{v})$ $\binom{J}{i}\left(n-1\right)^i$ $S_i(\mathbf{v})$ $\mathbf{v}$ $i$ $\binom{J}{i}$ possibilidades - e que existem, independentemente, opções de valores para cada local.) $n-1$

A tradução afim em atua naturalmente em suas distribuições para fornecer famílias de locais. Especificamente, quando é qualquer distribuição em (que significa pouco mais que , para todos e ) e é qualquer elemento de , então também é uma distribuição Onde $V$ $f$ $V$ $f:V\to [0,1]$ $f(\mathbf{v})\ge 0$ $\mathbf{v} \in V$ $\sum_{\mathbf{v}\in V}f(\mathbf{v})=1$ $\mathbf{w}$ $V$ $f^{(\mathbf{w})}$

f^{(w)} (v) = f (v - w)

$f^{(\mathbf{w})}(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}-\mathbf{w})$

para todos . Uma família local de distribuições é invariante no âmbito desta acção: implica para todos . $\mathbf{v}\in V$ $\Omega$ $f\in \Omega$ $f^{(\mathbf{v})}\in \Omega$ $\mathbf{v}\in V$

Construção

Isso nos permite definir famílias de distribuições potencialmente interessantes e úteis, especificando suas formas em um vetor fixo , que, por conveniência, considerarei e traduzindo essas "distribuições geradoras" sob a ação de para obter a família completa . Para atingir a propriedade desejada que deve ter valores comparáveis em pontos próximos, basta exigir essa propriedade de todas as distribuições geradoras. $\mathbf{v}$ $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)$ $V$ $\Omega$ $f$

Para ver como isso funciona, vamos construir a família de locais de todas as distribuições que diminuem com o aumento da distância. Como apenas as distâncias Hamming são possíveis, considere qualquer sequência decrescente de números reais não negativos = . Conjunto $J+1$ $\mathbf{a}$ $0 \ne a_0 \ge a_1 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$

A = \sum_{i = 0}^{J} (n - 1)^{i} (\binom{J}{i}) a_{i}

$A = \sum_{i=0}^J (n-1)^i\binom{J}{i} a_i$

e defina a função por $f_\mathbf{a}:V\to [0,1]$

f_{a} (v) = \frac{a_{δ_{H} (0, v)}}{A} .

$f_\mathbf{a}(\mathbf{v}) = \frac{a_{\delta_H(\mathbf{0},\mathbf{v})}}{A}.$

Então, como é fácil de verificar, é uma distribuição em . Além disso, se e somente se for um múltiplo positivo de (como vetores em ). Assim, se quisermos, podemos padronizar para . $f_\mathbf{a}$ $V$ $f_\mathbf{a} = f_{\mathbf{a}'}$ $\mathbf{a}'$ $\mathbf{a}$ $\mathbb{R}^{J+1}$ $\mathbf{a}$ $a_0=1$

Dessa forma, essa construção fornece uma parametrização explícita de todas as distribuições invariantes a localização que estão diminuindo com a distância de Hamming: qualquer distribuição está no formato para alguma sequência e algum vetor . $f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$ $\mathbf{a} = 1 \ge a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$ $\mathbf{v}\in V$

Essa parametrização pode permitir uma especificação conveniente de prioros: fatorá-los em um prior no local e um prior no formato . (Obviamente, pode-se considerar um conjunto maior de priores onde a localização e a forma são independentes, mas isso seria uma tarefa mais complicada.) $\mathbf{v}$ $\mathbf{a}$

Gerando valores aleatórios

Uma maneira de amostrar a partir de é por etapas, fatorando-a em uma distribuição através dos raios esféricos e outra distribuição condicional em cada esfera: $f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$

Desenhe um índice da distribuição discreta em dada pelas probabilidades , onde é definido como antes . $i$ $\{0,1,\ldots,J\}$ $\binom{J}{i}(n-1)^i a_i / A$ $A$
O índice corresponde ao conjunto de vetores que diferem de exatamente em lugares. Portanto, selecione aqueles que coloque fora dos subconjuntos possíveis , dando a cada probabilidade igual. (Esta é apenas uma amostra do subscritos fora do sem substituição.) Que este subconjunto de lugares ser escrito . $i$ $\mathbf{v}$ $i$ $i$ $\binom{J}{i}$ $i$ $J$ $i$ $I$
Desenhe um elemento selecionando independentemente um valor uniformemente no conjunto de escalares diferentes de para todos os e defina . Equivalentemente, crie um vetor selecionando uniformemente aleatoriamente nos escalares diferentes de zero quando e definindo . Defina . $\mathbf{w}$ $w_j$ $v_j$ $j\in I$ $w_j=v_j$ $\mathbf{u}$ $u_j$ $j\in I$ $u_j=0$ $\mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

O passo 3 é desnecessário no caso binário.

Exemplo

Aqui está uma Rimplementação para ilustrar.

rHamming <- function(N=1, a=c(1,1,1), n=2, origin) {
  # Draw N random values from the distribution f_a^v where the ground ring
  # is {0,1,...,n-1} mod n and the vector space has dimension j = length(a)-1.
  j <- length(a) - 1
  if(missing(origin)) origin <- rep(0, j)

  # Draw radii `i` from the marginal distribution of the spherical radii.
  f <- sapply(0:j, function(i) (n-1)^i * choose(j,i) * a[i+1])
  i <- sample(0:j, N, replace=TRUE, prob=f)

  # Helper function: select nonzero elements of 1:(n-1) in exactly i places.
  h <- function(i) {
    x <- c(sample(1:(n-1), i, replace=TRUE), rep(0, j-i))
    sample(x, j, replace=FALSE)
  }

  # Draw elements from the conditional distribution over the spheres
  # and translate them by the origin.
  (sapply(i, h) + origin) %% n
}

Como um exemplo de seu uso:

test <- rHamming(10^4, 2^(11:1), origin=rep(1,10))
hist(apply(test, 2, function(x) sum(x != 0)))

Demorou segundos para desenhar elementos iid da distribuição que , (o caso binário), e estão diminuindo exponencialmente. $0.2$ $10^4$ $f_{\mathbf{a}}^{(\mathbf{v})}$ $J=10$ $n=2$ $\mathbf{v}=(1,1,\ldots,1)$ $\mathbf{a}=(2^{11},2^{10},\ldots,2^1)$

(Este algoritmo não exige que esteja diminuindo; assim, ele gera variáveis aleatórias a partir de qualquer família de localizações, não apenas as unimodais.) $\mathbf{a}$

— whuber
fonte

Obrigado por isso! A distância de Hamming, neste caso, é apenas em restrita às vértices do cubo; Nesse contexto, a distância de Hamming está agindo isotropicamente. Afastar-me disso complica essas coisas porque tenho mais do que valores diferentes para a minha medida de distância? Algum comentário geral sobre isso?

L_{1}

$L_1$

R^{J}

$\mathbb R^J$

J

$J$

— cara

Sim: uma escolha de funções de distância dependerá do que os valores em representam. Como a pergunta foi formulada de maneira abstrata, não temos realmente nada a fazer para formar opiniões sobre o que seriam boas escolhas. A distância de Hamming seria apropriada para valores nominais e talvez também em outros casos, mas outras distâncias podem funcionar melhor quando houver um senso inerente de distância para o conjunto . No caso binário , é difícil generalizar as distâncias de Hamming: elas já são bastante gerais.

{1, 2, \dots, n}

$\{1,2,\ldots,n\}$

{1, 2, \dots, n}

$\{1,2,\ldots,n\}$

n = 2

$n=2$

— whuber

Uma amostra de um processo de ponto determinante k modela uma distribuição por subconjuntos que incentivam a diversidade, de modo que itens semelhantes têm menor probabilidade de ocorrerem juntos na amostra. Consulte a amostragem do processo do ponto determinante K por Alex Kulesza, Ben Taskar.

— carro fúnebre
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