Probabilidade de

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Suponha que e são variáveis aleatórias geométricas independentes com o parâmetro . Qual é a probabilidade de ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Estou confuso com esta pergunta porque não nos disseram nada sobre o e o que não sejam geométricos. Isso não seria porque e podem estar no intervalo? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDIT: nova tentativa

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = e $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Portanto, = = Adicionando para isso, recebo = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

Isso está correto?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
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Por favor, adicione a tag 'auto-estudo'.

— StubbornAtom

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Na verdade, porque X1e X2são variáveis discretas, a igualdade torna as coisas um pouco menos óbvias.

— usεr11852

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Não pode ser $50\%$ porque $P(X_1=X_2)>0$

Uma abordagem:

Considere os três eventos $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ e $P(X_1=X_2)$ , que particionam o espaço de amostra.

Há uma conexão óbvia entre os dois primeiros. Escreva uma expressão para a terceira e simplifique. Daí resolver a questão.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Eu editei, meu post com minha nova resposta. Você poderia dar uma olhada e ver se está correto?

— IrCa 24/02/19

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Sim, suas respostas parecem corretas. Um método alternativo (usando uma idéia semelhante) seria observar que

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$ (novamente, explorando a simetria / permutabilidade de

e

).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Reinstala Monica

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Sua resposta, seguindo a sugestão de Glen, está correta. Outra maneira, menos elegante, é apenas condicionar:

\begin{aligned} Pr {X_{1 1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0 0}^{\infty} Pr {X_{1 1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1 1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Isso fornecerá o mesmo $1/(2-p)$ , após o manuseio das duas séries geométricas. O caminho de Glen é melhor.

— zen
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nota: seu caminho é melhor para aplicar a novos problemas, eu acho. Porque é baseado nos primeiros princípios. O truque / intuição da resposta de glen_b geralmente vem depois que o problema foi resolvido do seu jeito

— probabilityislogic

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@probabilityislogic Compartilho seu entusiasmo pelas derivações dos "primeiros princípios". No entanto, para um matemático moderno, procurar e explorar simetria é ainda mais fundamental do que os primeiros princípios (definições) aos quais você se refere: podemos chamá-lo de um metaprincípio da matemática. É muito mais que um mero "truque".

— whuber