Não consigo entender por que a amostragem por rejeição funciona

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Eu quero gerar pontos de amostra em uma forma 2D arbitrária, por exemplo, um círculo centrado na origem com raio 1. A amostra de rejeição diz: $\{z_i\}$

Olhada 2 variáveis aleatórias mais uniformes , e . $[0,1]$ $X$ $Y$
Amostra e , você obtém e , digamos. $X$ $Y$ $x$ $y$
Teste se : $x^2+y^2\leq 1$
- se sim, . $z=(x,y)$
- se não, faça uma amostra de e até que a condição seja satisfeita. $X$ $Y$

Por que isso funciona, ou seja, por que isso simula a amostragem de uma variável aleatória que é distribuída uniformemente por um disco? $Z$

uniform rejection-sampling

— ToniAz
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@ AdamO Acho que o WLLN é irrelevante, porque a pergunta é sobre o procedimento e não sobre a limitação das propriedades dos dados. Basta demonstrar que quando é um conjunto mensurável no plano, esse procedimento desenha pontos independentemente de com probabilidade proporcional à área de (onde é o disco unitário em questão).

A

$A$

A

$A$

A \cap D^{2}

$A \cap D^2$

D^{2}

$D^2$

— whuber

@AdamO, o OP não demonstrou interesse em medir a área de um círculo. Eles antecederam a pergunta com "Eu quero gerar amostras". Se eles estavam interessados em estimar a área, seu comentário é válido, pois eles entendem como as amostras obtidas por amostragem por rejeição são representativas. No entanto, eles querem saber por que as amostras obtidas são representativas.

— Greenparker

@ Obrigado Greenparker, vejo por que não entendi a pergunta.

— AdamO 25/02/19

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Em geral, para obter amostras de uma distribuição com densidade no suporte , se estiver usando uma distribuição de proposta com densidade , precisamos encontrar modo que $f(x,y)$ $\mathcal{S}$ $h(x,y)$ $M$

sup_{(x, y) \in S} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} \leq M,

$\sup_{(x,y) \in\mathcal{S}} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} \leq M,$

para que possamos aceitar um valor proposto com probabilidade

α = \frac{f (x, y)}{M h (x, y)} .

$\alpha = \dfrac{f(x,y)}{Mh(x,y)}\,.$

Aceitar com é equivalente a desenhar e aceitar se . $\alpha$ $U \sim U[0,1]$ $U < \alpha$

Suponho que você entenda essa premissa geral de amostragem por rejeição. Portanto, neste exemplo de desenho de amostras do círculo usando uma proposta quadrada uniforme,

f (x, y) = \frac{1}{π} \cdot I (\underset{= S}{\underset{⏟}{x^{2} + y^{2} < 1}}) and h (x, y) = \frac{1}{4} I (- 1 < x, y < 1) .

$f(x,y) = \dfrac{1}{\pi} \cdot I(\underbrace{x^2 + y^2 <1}_{=\mathcal{S}}) \quad \text{ and }\quad h(x,y) = \dfrac{1}{4} I(-1 < x,y < 1)\,.$

Primeiro, vamos encontrar . Em apoio de , $M$ $f$

sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} = sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{1 / 4} = \frac{4}{π} := M .

$\sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} = \sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{ I(x^2 + y^2 \leq 1)/ \pi}{1/4} = \dfrac{4}{\pi} := M\,.$

Portanto, qualquer valor proposto a partir do quadrado será esperado com probabilidade

\frac{f (x, y)}{M h (x, y)} = \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{M / 4} = I (x^{2} + y^{2} \leq 1) .

$\dfrac{f(x,y)}{M{h(x,y)}} = \dfrac{I(x^2 + y^2 \leq 1)/\pi}{M/{4}} = I(x^2 + y^2 \leq 1)\,.$

Portanto, para qualquer valor proposto no suporte de , sempre será menor que , portanto, sempre aceitaremos. Portanto, não há necessidade de amostrar a partir de um e, sempre que o ponto amostrado estiver dentro do círculo, podemos aceitá-lo imediatamente. $f$ $U\sim U[0,1]$ $1$ $U$

— Greenparker
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2

Em primeiro lugar você precisa de seus e distribuídos entre e ( dá-lhe um quarto de um círculo desde que você está olhando apenas para e ). $x$ $y$ $-1$ $1$ $[0,1]$ $y \ge 0$ $x \ge0$

Então você percebe que tem duas listas de variáveis distribuídas aleatoriamente ao longo dos eixos e - duas linhas com uma distribuição aleatória de pontos. Combine isso e você terá um quadrado de pontos distribuídos aleatoriamente. $X$ $Y$

Você então rejeita os bits do quadrado que não estão dentro de um círculo centralizado em - daí - e todos os pontos que satisfazem essa desigualdade estarão no disco e, como os pontos na praça foram distribuídos uniformemente, também os pontos no disco. $(0,0)$ $x^{2}+y^{2}\le1$

— Lio Elbammalf
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1

Você escolheu qualquer ponto em [0,1] x [0,1] com igual probabilidade. Então você removeu todos aqueles que estão fora do círculo.

Isso não altera a probabilidade de ser selecionado para cada ponto individual dentro do círculo (ou seja: qualquer ponto dentro do círculo ainda tem a mesma probabilidade de ser escolhido como qualquer outro)

— David
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