Quando e implica ?

A questão:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ e $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Eu sei que isso não se aplica em geral; O teorema de Slutsky só se aplica quando uma ou ambas as convergências estão em probabilidade.

No entanto, existem casos em que isso ocorre ?

Por exemplo, se as seqüências e forem independentes. $X_n$ $Y_n$

— mai
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Respostas:

Formalizando a resposta @Ben, a independência é quase uma condição suficiente, porque sabemos que a função característica da soma de dois RV independentes é o produto de suas funções marginais. Seja . Sob independência de e ,

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

assim

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

e temos (desde que assumimos que e convergem) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

qual é a função característica de ... se são independentes. E eles serão independentes se um dos dois tiver uma função de distribuição contínua ( veja este post ). Essa é a condição necessária além da independência das seqüências, para que a independência seja preservada no limite. $X+Y$ $X+Y$

Sem independência teríamos

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

e nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre o limite.

— Alecos Papadopoulos
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Ótima resposta (+1). Eu acho que com esse método também vale a pena notar que a suposição mais fraca (independência assintótica) vai diretamente para o seu segundo passo e também fornece o resultado . Isso mostra que a independência assintótica é suficiente para a propriedade desejada.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Restabelece Monica

O teorema de Cramer-Wold fornece uma condição necessária e suficiente:

Seja uma sequência de variáveis aleatórias avaliadas porEm seguida, $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Para dar um exemplo, deixe e defina , bem como . Em seguida, temos trivialmente e, devido à simetria da distribuição normal padrão, esse No entanto, não converge na distribuição, pois Esta é uma aplicação do Dispositivo Cramer-Wold para . $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— Christoph Hanck
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Sim, a independência é suficiente: as condições antecedentes aqui dizem respeito à convergência na distribuição para as distribuições marginais de e . A razão pela qual a implicação geralmente não se sustenta é que não há nada nas condições antecedentes que lide com a dependência estatística entre os elementos das duas seqüências. Se você fosse impor independência das seqüências, isso seria suficiente para garantir a convergência na distribuição da soma. $\{ X_n \}$ $\{ Y_n \}$

( Alecos adicionou uma excelente resposta abaixo que comprova esse resultado usando funções características. A independência assintótica também é suficiente para essa implicação, uma vez que ocorre a mesma decomposição limitante das funções características.)

— Ben - Restabelecer Monica
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A independência das sequências pode não ser suficiente. Você também precisa de independência da limitando e . Se as seqüências são independentes, mas você está cozinhado.

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— cara

A conclusão de que é o cdf de Na resposta do @Alecos, baseia-se no fato de que e são independentes. Portanto, exige que e sejam independentes, se o modo de convergência for . Suponha que e sejam iid , então e , mas enquanto .

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— cara

@Alecos Se você concorda que eles convergem para um , você concorda trivialmente que ambos convergem na distribuição para por definição. Eles também convergem na distribuição para e para todas as outras variáveis aleatórias. A convergência na distribuição não é como outros modos de convergência; você pode convergir na distribuição para muitas variáveis aleatórias diferentes; a variável aleatória limitante nem precisa ser definida no mesmo espaço de probabilidade. A única coisa única é a distribuição marginal .

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— cara

@Alecos em outras palavras, observe que a distribuição de nem sequer é bem definida apenas falando sobre as seqüências serem independentes. Você pode ter e sem fazer nenhuma suposição sobre a estrutura de dependência de e , mesmo se você fizer suposições fortes sobre a dependência de e . Tudo o que fizemos é fixado para baixo as marginais de e .

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— cara

Oh; Eu acho que entendi. Você está dizendo que preciso de uma condição adicional sobre a independência de e para que minha declaração original seja mantida na questão. Entre em contato se eu entendi corretamente.

X

$X$

Y

$Y$

— mai