Relação entre independência e correlação de variáveis ​​aleatórias uniformes

Minha pergunta é bastante simples: sejam e duas variáveis ​​aleatórias uniformes não correlacionadas em . Eles são independentes?$X$$Y$$[-1,1]$

Fiquei com a impressão de que duas variáveis ​​aleatórias não correlacionadas são necessariamente necessariamente independentes se sua distribuição conjunta for normal. No entanto, não posso inventar um contraexemplo para refutar a afirmação sobre a qual estou perguntando. Forneça um contra-exemplo ou uma prova.

Independente implica não correlacionado, mas a implicação não segue o contrário.

Não correlacionado implica independência apenas sob certas condições. por exemplo, se você tem uma normal bivariada , é o caso que não correlacionado implica independente (como você disse).

É fácil construir distribuições bivariadas com margens uniformes onde as variáveis ​​não são correlacionadas, mas não são independentes. Aqui estão alguns exemplos:

1. considerar uma variável aleatória adicional que leva os valores cada com probabilidade , independente de . Então deixe .$B$$\pm 1$$\frac12$$X$$Y=BX$

2. pegue a distribuição bivariada de dois uniformes independentes e corte-a em 4 seções de tamanho igual em cada margem (produzindo peças, cada uma do tamanho ). Agora pegue toda a probabilidade das 4 peças de canto e das 4 peças centrais e coloque-a uniformemente nas outras 8 peças.$4\times 4=16$$\frac12\times\frac12$

3. Seja .$Y = 2|X|-1$

Em cada caso, as variáveis ​​não são correlacionadas, mas não são independentes (por exemplo, se , o que é ,?)$X=1$$P(-0.1<Y<0.1)\,$

Se você especificar uma família específica de distribuições bivariadas com margens uniformes, poderá ser possível que, sob essa formulação, a única não correlacionada seja independente. Então não estar correlacionado implicaria independência.

Por exemplo, se você restringir sua atenção para dizer a cópula gaussiana, acho que a única não correlacionada tem margens independentes; você pode prontamente redimensionar isso para que cada margem esteja ativada (-1,1).

Algum código R para amostragem e plotagem dessas bivariadas (não necessariamente com eficiência):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(Nesta formulação, dá um quarto exemplo)$(Y_2, Y_3)$

[Aliás, transformando tudo isso em normalidade (ou seja, transformando em e assim por diante), você obtém exemplos de variáveis ​​aleatórias normais não correlacionadas que não são independentes. Naturalmente, eles não são conjuntamente normais.]$X$$\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$