Densidade de Y = log (X) para X distribuído por gama

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Suponha que eu tenha uma variável aleatória e defina . Eu gostaria de encontrar a função densidade de probabilidade de . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Eu originalmente pensava que definiria apenas a função de distribuição cumulativa X, faria uma alteração na variável e levaria o "interior" da integral como minha densidade, assim,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Aqui eu uso e , em seguida, sub nas definições para e em termos de . $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

Infelizmente, a saída não se integra ao 1. Não tenho certeza de onde está o meu erro. Alguns poderiam me dizer onde está o meu erro?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
fonte

Se você trabalha com o cdf, não deve alterar o integrando da primeira para a segunda integral. Seu erro é tentar usar as abordagens cdf e jacobiana ao mesmo tempo.

— Xi'an

Escreva as densidades com os indicadores para ter uma imagem clara.

Se , então $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Se , com inverso , então e o CDF é obtido a partir da definição $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— zen
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Esta é uma boa resposta, mas talvez você deva parametrizar a distribuição gama da mesma maneira que a pergunta original.

— assumednormal

Bom ponto, max. Feito.

— Zen

Woops, minhas próprias definições tinham bugs. Deve ser .

α = k

$\alpha = k$

— duckworthd