Atualização (25-06-2019): alterar o título de "Os modelos MA não invertíveis fazem sentido?" para distingui-lo da pergunta 333802 .

Ao revisar os modelos MA ( ), me deparei com esses slides (Alonso e Garcia-Martos, 2012). Os autores afirmam que, embora todos os processos de MA sejam estacionários, se não forem invertíveis, você terá$q$

" a situação paradoxal em que o efeito de observações passadas aumenta com a distância " .

Isso pode ser visto pela decomposição do processo MA (1): em onde claramente traduz em história com mais e mais influência sobre o presente. Duas coisas sobre isso me incomodam:

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ $|\theta|>1$

1. Não é difícil imaginar uma situação em que haja um atraso único nos efeitos de algo
2. Esta publicação validada cruzada tem uma resposta que afirma:

" Invertibilidade não é realmente grande coisa, porque quase qualquer modelo gaussiano de MA (q) não-invertível pode ser alterado para um modelo de MA (q) invertível que representa o mesmo processo "

É verdade que o efeito de observações passadas aumenta com a distância? Se sim, isso torna os modelos impróprios para a descrição de fenômenos do mundo real?

Atualização (2019-11-09) Encontrei isso no texto Análise de séries temporais e suas aplicações (Shumway e Stoffer, página 85), que também suporta o caso de que realmente não importa se um modelo MA é invertível, mas nós convém escolher a versão não invertível do modelo por conveniência.

Não é grande coisa - é fortemente estacionário e se aproxima do ruído branco

O processo não reversível de $\text{MA}(1)$ faz todo o sentido e não exibe nenhum comportamento particularmente estranho. Tomando a versão gaussiana do processo, para qualquer vector $\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ consiste em observações consecutivas, temos $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ com covariância:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Como você pode ver, este é um processo fortemente estacionário e as observações com mais de um atraso são independentes, mesmo quando $|\theta|>1$ . Isso não é surpreendente, tendo em vista o fato de que essas observações não compartilham nenhuma influência do processo de ruído branco subjacente. Não parece haver nenhum comportamento em que "as observações passadas aumentem com a distância", e a equação que você declarou não estabelece isso (veja abaixo para discussão adicional).

De fato, como $|\theta| \rightarrow \infty$ (que é o caso mais extremo do fenômeno que você está considerando), o modelo reduz assintoticamente a um processo trivial de ruído branco. Isso é completamente surpreendente, tendo em vista que um grande coeficiente no termo de erro atrasado domina o coeficiente de unidade no termo de erro simultâneo e muda o modelo assintoticamente para a forma $y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$ , que é apenas uma versão em escala e deslocada do processo de ruído branco subjacente.

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Uma observação sobre sua equação: Na equação em sua pergunta, você escreve o valor atual da série temporal observável como uma soma geometricamente crescente de valores passados, além dos termos de erro restantes. Isto é afirmado para mostrar que "o efeito de observações passadas aumenta com a distância". No entanto, a equação envolve um grande número de termos de cancelamento. Para ver isso, vamos expandir os termos observáveis ​​anteriores para mostrar o cancelamento dos termos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Podemos ver nessa expansão que a soma geometricamente crescente dos valores passados ​​das séries temporais observáveis ​​existe apenas para obter o termo de erro anterior:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

$\epsilon_{t-1}$$\epsilon_0$

$y_1,y_2,\dots,y_n$. Como tento explicar no post ao qual você vincula, a distribuição conjunta desses dados quase sempre pode (exceto no caso de o polinômio MA ter uma ou mais raízes unitárias) ser identicamente modelados como gerados por um número de variáveis ​​não-invertíveis Modelos MA ou por um modelo MA reversível correspondente. Com base apenas nos dados, não há, portanto, como saber se o mecanismo subjacente do "mundo real" corresponde ao de um modelo não-invertível ou invertível. E os modelos ARIMA não são, de modo algum, pretendidos como modelos mecanicistas do processo de geração de dados.

$(\infty)$