Escolhendo entre LM e GLM para uma variável de resposta transformada em log

Estou tentando entender a filosofia por trás do uso de um modelo linear generalizado (GLM) vs um modelo linear (LM). Criei um exemplo de conjunto de dados abaixo em que:

$$\log(y) = x + \varepsilon$$

O exemplo não possui o erro em função da magnitude de y , portanto, eu suporia que um modelo linear de y transformado em log seria o melhor. No exemplo abaixo, esse é realmente o caso (eu acho) - já que a AIC do LM nos dados transformados em log é mais baixa. O AIC da distribuição Gamma GLM com uma função de log-link possui uma soma mais baixa de quadrados (SS), mas os graus adicionais de liberdade resultam em um AIC ligeiramente mais alto. Fiquei surpreso que a distribuição gaussiana da AIC seja muito maior (mesmo que o SS seja o mais baixo dos modelos).$\varepsilon$$y$

Espero obter alguns conselhos sobre quando alguém deve abordar os modelos GLM - ou seja, há algo que eu deva procurar no meu modelo LM para ajustar os resíduos para me dizer que outra distribuição é mais apropriada? Além disso, como proceder na seleção de uma família de distribuição apropriada.

Muito obrigado antecipadamente por sua ajuda.

[EDIT]: Agora ajustei as estatísticas de resumo para que o SS do modelo linear transformado por log seja comparável aos modelos GLM com a função log-link. Um gráfico das estatísticas agora é mostrado.

Exemplo

set.seed(1111)
n <- 1000
y <- rnorm(n, mean=0, sd=1)
y <- exp(y)
hist(y, n=20)
hist(log(y), n=20)

x <- log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
hist(x, n=20)

df  <- data.frame(y=y, x=x)
df2 <- data.frame(x=seq(from=min(df$x), to=max(df$x),,100))


#models
mod.name <- "LM"
assign(mod.name, lm(y ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2) ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.LM"
assign(mod.name, lm(log(y) ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(exp(predict(get(mod.name), newdata=df2)) ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.GAUSS.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=gaussian(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.GAMMA.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=Gamma(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)

#Results
model.names <- list("LM", "LOG.LM", "LOG.GAUSS.GLM", "LOG.GAMMA.GLM")

plot(y ~ x, df, log="y", pch=".", cex=3, col=8)
lines(predict(LM, newdata=df2) ~ df2$x, col=1, lwd=2)
lines(exp(predict(LOG.LM, newdata=df2)) ~ df2$x, col=2, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAUSS.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=3, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAMMA.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=4, lwd=2)
legend("topleft", legend=model.names, col=1:4, lwd=2, bty="n") 

res.AIC <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=AIC(LM),
        LOG.LM=AIC(LOG.LM),
        LOG.GAUSS.GLM=AIC(LOG.GAUSS.GLM),
        LOG.GAMMA.GLM=AIC(LOG.GAMMA.GLM)
    )
)

res.SS <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=sum((predict(LM)-y)^2),
        LOG.LM=sum((exp(predict(LOG.LM))-y)^2),
        LOG.GAUSS.GLM=sum((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2),
        LOG.GAMMA.GLM=sum((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2)
    )
)

res.RMS <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=sqrt(mean((predict(LM)-y)^2)),
        LOG.LM=sqrt(mean((exp(predict(LOG.LM))-y)^2)),
        LOG.GAUSS.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2)),
        LOG.GAMMA.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2))
    )
)

png("stats.png", height=7, width=10, units="in", res=300)
#x11(height=7, width=10)
par(mar=c(10,5,2,1), mfcol=c(1,3), cex=1, ps=12)
barplot(res.AIC, main="AIC", las=2)
barplot(res.SS, main="SS", las=2)
barplot(res.RMS, main="RMS", las=2)
dev.off()

Bom esforço para pensar sobre esta questão. Aqui está uma resposta incompleta, mas algumas entradas para os próximos passos.

Primeiro, as pontuações da AIC - com base nas probabilidades - estão em escalas diferentes devido às diferentes distribuições e funções de link, portanto, não são comparáveis. Sua soma dos quadrados e a soma média dos quadrados foram calculadas na escala original e, portanto, estão na mesma escala, portanto, podem ser comparadas, embora se esse seja um bom critério para a seleção de modelos seja outra questão (pode ou não ser - pesquise nos arquivos validados cruzados na seleção de modelos para uma boa discussão sobre isso).

Para sua pergunta mais geral, uma boa maneira de focar no problema é considerar a diferença entre LOG.LM (seu modelo linear com a resposta como log (y)); e LOG.GAUSS.GLM, o glm com a resposta como ye uma função de link de log. No primeiro caso, o modelo que você está ajustando é:

$\log(y)=X\beta+\epsilon$ ;

e no caso glm () é:

$\log(y+\epsilon)=X\beta$

$\epsilon$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$E[\ln(Y|x)]$$\ln([E(Y|X])$ não são os mesmos. Além disso, as suposições de variação feitas pelo GLM são mais flexíveis do que no OLS e para determinadas situações de modelagem. já que a variação da contagem pode ser diferente, tendo famílias de distribuição distintas.

Sobre a família de distribuição, na minha opinião, há uma pergunta sobre a variação e sua relação com a média. Por exemplo, em uma família gaussiana, temos variação constante. Em uma família gama, temos a variação como função quadrática da média. Plote seus resíduos padronizados versus os valores ajustados e veja como eles são.

R$\log(y) = x + \varepsilon$$x = \log(y) + \varepsilon$$x$$y$

ly = log(y)
REVERSE.REGRESSION = lm(x~ly)
summary(REVERSE.REGRESSION)
# Call:
# lm(formula = x ~ ly)
# 
# Residuals:
#      Min       1Q   Median       3Q      Max 
# -2.93996 -0.64547 -0.01351  0.63133  2.92991 
# 
# Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)  0.01563    0.03113   0.502    0.616    
# ly           1.01519    0.03138  32.350   <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# 
# Residual standard error: 0.984 on 998 degrees of freedom
# Multiple R-squared:  0.5119,    Adjusted R-squared:  0.5114 
# F-statistic:  1047 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

As métricas para este modelo (como o AIC) não serão comparáveis ​​aos seus modelos. No entanto, sabemos que esse é o modelo certo com base no processo de geração de dados e percebemos que os coeficientes estimados estão no alvo.

A escolha é baseada em sua hipótese em sua variável.

$$\frac{\sqrt{\mathrm{Var}(X_t} }{\mathrm{E}(X_t)} = \mathrm{constant}$$

a distribuição gama é baseada em

$$\frac{\mathrm{Var}(X_t) }{\mathrm{E}(X_t)} = \mathrm{constant}$$

---

A transformação do log baseia-se na hipótese de que,

$$\sqrt{\mathrm{Var}(X_t} = \mathrm{E}(X_t) \sigma$$

Nesse caminho,

$$\begin{alignat}{2} X_t &= X_t\\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot \frac{X_t}{\mathrm{E}(X_t)} \\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t) + \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)} \\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ \end{alignat}$$

Com base na regra de Taylor,

$$\log(1+x) \approx x$$

Nós temos

$$\log(1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) = \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}$$

Portanto,

$$\begin{alignat}{2} X_t &= \mathrm{E}(X_t) \cdot (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ \log X_t &= \log \mathrm{E}(X_t) + \log (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ &= \log \mathrm{E}(X_t) + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)} \\ \mathrm{E}(\log X_t) & \approx \log \mathrm{E}(X_t) \end{alignat}$$

---

No entanto, a distribuição gama baseia-se na hipótese de que,

$$Y \sim \Gamma(\alpha, \beta)$$

$$\begin{cases} E(y_i) = \alpha_i \cdot \beta_i \\ Var(y_i) = \alpha_i \cdot \beta_i^2 \\ \end{cases} \to \frac{Var(y_i)}{E(y_i)} = \beta_i$$