Generalização da distribuição e classificação normais multivariadas

Estou interessado em uma família de distribuições multivariadas que podem ser vistas como uma generalização da distribuição normal multivariada, na medida em que são definidas por um valor de expectativa e uma matriz de covariância , além de uma função monotonamente decrescente modo que a densidade seja que é a distância de Mahalanobis. A normal multivariada é obviamente recuperada por . $\vec \mu$ $\Sigma$ $g(d)$

p (\vec{x}) \propto g (Δ (\vec{x}, \vec{μ}))

$p(\vec x) \propto g \left ( \Delta(\vec x, \vec \mu) \right )$

Δ (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^{T} Σ^{- 1} (\vec{a} - \vec{b})}

$\Delta(\vec a, \vec b) = \sqrt { (\vec a - \vec b)^T \Sigma^{-1} (\vec a - \vec b) }$

g (d) = \exp (- \frac{1}{2} d^{2})

$g(d) = \exp (- \frac12 d^2 )$

Minha primeira pergunta é: Qual é o nome dessa família de distribuições?

É simples de mostrar que para a classificação de um determinado ponto de dados para uma de duas ou mais classes, cada um dos quais é descrito por uma tal densidade com diferentes mas idêntico e , os limites de classificação óptimas são lineares seccionalmente (hiperplanar). $\mu$ $\Sigma$ $g(d)$

Minha segunda pergunta é: esse é um resultado padrão e, em caso afirmativo, qual é a referência padrão da literatura (manual)?

— A. Donda
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Que eu saiba, existem duas famílias de distribuições relacionadas à sua descrição: 1. Distribuições elípticas e 2. Distribuições esféricas .

Olá @Procrastinator, parece estranho ter uma postagem editada por outra pessoa, mas entendo o seu ponto. - Quanto ao seu comentário, acredito que as distribuições elípticas são exatamente o que quero dizer, e as distribuições esféricas são um caso especial. Portanto, acho que o que você escreveu não é um comentário, mas uma resposta. Muito obrigado! - Usando a terminologia recém-encontrada, uma busca por seu uso na classificação ainda não apareceu, então minha segunda pergunta ainda está aberta.

— A.Delda

A resposta à primeira pergunta foi dada pelo procrastinador em um comentário: A família é chamada de Distribuições Elípticas . A referência padrão do livro parece ser

Fang, K., Kotz, S., Ng, KW, 1990. Distribuições simétricas multivariadas e relacionadas. Chapman e Hall.

$\vec \mu$ $\Sigma$

Hartikainen, A., Oja, H., 2006. Em algumas regras de discriminação paramétrica, não paramétrica e semiparamétrica, em: Profundidade dos Dados: Análise Multivariada Robusta, Geometria Computacional e Aplicações. Sociedade Americana de Matemática, pp. 61–70.

— A. Donda
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