Estimativa de parâmetros da distribuição exponencial com amostragem enviesada

Desejo calcular o parâmetro da distribuição exponencial de uma população de amostra retirada dessa distribuição sob condições tendenciosas. Até onde eu sei, para uma amostra de n valores, o estimador usual é . No entanto, minha amostra é tendenciosa da seguinte forma:e - λ x λ = $\lambda$$e^{-\lambda x}$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$

De uma população completa de m elementos extraídos da distribuição exponencial, apenas os n menores elementos são conhecidos. Como posso estimar o parâmetro neste cenário?$\lambda$

Um pouco mais formal, se são amostras de iid retiradas de , de modo que, para cada , temos , como posso estimar do conjunto que .e - λ x i < j X i ≤ x j λ { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } n < $\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$$e^{-\lambda x}$$i < j$$x_i \leq x_j$$\lambda$$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$$n < m$

Muito obrigado!

Michael

O estimador de probabilidade máxima para o parâmetro da distribuição exponencial sob censura do tipo II pode ser derivado da seguinte maneira. Suponho que o tamanho da amostra seja , dos quais menores são observados e os maiores não são observados (mas sabemos que existem).n < m m - $m$$n < m$$m - n$

Vamos supor (por simplicidade notacional) que os observados estão ordenados: . Então a densidade de probabilidade conjunta de é: 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n x 1 , … , x $x_i$$0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$$x_1, \dots, x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

onde o primeiro exponencial se relaciona às probabilidades do observado e o segundo às probabilidades do não observado que são maiores que (que é apenas 1 - o CDF em ). Os termos de reorganização levam a:x i m - n x i x n x $n$$x_i$$m-n$$x_i$$x_n$$x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

(Observe que a soma é pois existe um " " no coeficiente de .) Tomando o log, a derivada wrt e assim por diante leva ao estimador de probabilidade máxima:+ 1 x n$n-1$$+1$$x_n$$\lambda$

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

Isso vincula a resposta de @ jbowman ao meu comentário. Ou seja, sob premissas de trabalho comuns, pode-se usar a 'probabilidade de sobrevivência padrão' sob censura do tipo II.

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1: Observe que isso não está restrito à distribuição exponencial.

PS2: Detalhes podem ser encontrados na Seção 2.2 do livro da Lawless .

$n$

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$$x_k$$0<k<m$$k$

$n$$\Phi$$k$$k/n$$k=n/2$