Ajustando a distribuição t no parâmetro R: scaling

Como ajusto os parâmetros de uma distribuição t, ou seja, os parâmetros correspondentes à 'média' e 'desvio padrão' de uma distribuição normal. Eu suponho que eles são chamados de 'média' e 'escala / graus de liberdade' para uma distribuição t?

O código a seguir geralmente resulta em erros de "falha na otimização".

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Preciso escalar x primeiro ou converter em probabilidades? Qual a melhor forma de fazer isso?

fitdistrusa técnicas de máxima probabilidade e otimização para encontrar parâmetros de uma determinada distribuição. Às vezes, especialmente para a distribuição t, como @ user12719 notou, a otimização no formato:

fitdistr(x, "t")

falha com um erro.

Nesse caso, você deve ajudar o otimizador, fornecendo ponto de partida e limite inferior para começar a procurar por parâmetros ideais:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Observe, df=3é o seu melhor palpite sobre o que dfpoderia ser um "ótimo" . Depois de fornecer essas informações adicionais, seu erro desaparecerá.

Alguns trechos para ajudá-lo a entender melhor a mecânica interna de fitdistr:

Para as distribuições Normal, log-Normal, geométrica, exponencial e Poisson, os MLEs de forma fechada (e erros padrão exatos) são usados ​​e startnão devem ser fornecidos.

...

Para as seguintes distribuições nomeadas, os valores iniciais razoáveis ​​serão computados se startomitidos ou apenas parcialmente especificados: "cauchy", "gama", "logistic", "binomial negativo" (parametrizado por mu e tamanho), "t" e "weibull " Observe que esses valores iniciais podem não ser bons o suficiente se o ajuste for ruim: em particular, eles não são resistentes a valores discrepantes, a menos que a distribuição ajustada seja de cauda longa.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Vamos tentar algumas simulações:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

Mostrar que a estimativa é muito instável (olhando para o histograma, uma parte considerável dos valores estimados está no limite superior dado para otimizar 200).

Repetindo com um tamanho de amostra maior:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

o que é muito melhor, mas a média ainda está muito acima do valor real de 2,5.

Lembre-se de que esta é uma versão simplificada do problema real, onde os parâmetros de localização e escala também precisam ser estimados.

$t$$\nu$

Na ajuda para fitdistr, este exemplo:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

indicando que você só precisa de um valor para df. Mas isso pressupõe padronização.

Para mais controle, eles também mostram

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

onde os parâmetros seriam m = média, s = desvio padrão, df = graus de liberdade