Qual é o nome dessa distribuição discreta (equação da diferença recursiva) que deduzi?

Me deparei com essa distribuição em um jogo de computador e queria aprender mais sobre seu comportamento. É a decisão de decidir se um determinado evento deve ocorrer após um determinado número de ações do jogador. Os detalhes além disso não são relevantes. Parece aplicável a outras situações, e achei interessante porque é fácil de calcular e cria uma cauda longa.

A cada passo , o jogo gera um número aleatório uniforme . Se , o evento é acionado. Após a ocorrência do evento, o jogo redefine e executa a sequência novamente. Estou interessado apenas em uma ocorrência do evento para esse problema, porque isso representa a distribuição que o jogo está usando. (Além disso, qualquer dúvida sobre várias ocorrências pode ser respondida com um único modelo de ocorrência.) $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

A principal "anormalidade" aqui é que o parâmetro de probabilidade nesta distribuição aumenta com o tempo, ou, em outras palavras, o limite aumenta com o tempo. No exemplo, ele muda linearmente, mas suponho que outras regras possam ser aplicadas. Após etapas ou ações do usuário, $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

para alguma constante . Em um certo ponto , obtemos . O evento é simplesmente garantido para ocorrer nessa etapa. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

Eu fui capaz de determinar que

e para PMF e CDF . Em resumo, a probabilidade de o evento ocorrer no

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$ o passo é igual à probabilidade

, menor a probabilidade de que ele já tenha ocorrido em qualquer passo anterior.

p (n)

$p(n)$

Aqui está uma trama do nosso amigo Monte Carlo, por diversão, com . A mediana atinge 21 e a média 22. $k \approx 0.003$ insira a descrição da imagem aqui

Isso é amplamente equivalente a uma equação de diferença de primeira ordem do processamento de sinal digital, que é o meu histórico, e, por isso, achei isso bastante novo. Também estou intrigado com a noção de que pode variar de acordo com qualquer fórmula arbitrária. $p(n)$

Minhas perguntas:

Qual é o nome dessa distribuição, se houver uma?
$f(n)$ $F(n)$
Existem outros exemplos de distribuições recursivas discretas como essa?

Edita processo esclarecido sobre geração de números aleatórios.

— jbarlow
fonte

Alguma razão para você escolher colchetes em vez de ()?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon: Meu plano de fundo do DSP apareceu. Tendemos a usar colchetes para funções de tempo discretas. Eu acho que isso deve ser chocante, então eu vou mudar isso.

— jbarlow

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$ função de risco no subcampo das estatísticas conhecidas como análise de sobrevivência .

— cardeal

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

Respostas:

Em certo sentido, o que você fez é caracterizar todas as distribuições de valor inteiro não-negativas.

Vamos deixar de lado a descrição do processo aleatório por um momento e focar nas recursões da pergunta.

$f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

Mais especificamente,

$(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

$(p_n)$ $[0,1]$

$(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

Mas espere, tem mais!

$F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

$t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

$h(t)$ $S(t)$

Conectando de volta ao caso discreto

$S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

$p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

$p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— cardeal
fonte

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

Ótima resposta. Isso é muito perspicaz. Eu estava realmente interessado em ver esse problema conectado a outras áreas e conceitos.

— jbarlow

@ jbarlow: Obrigado. Estou feliz que você tenha achado útil! Eu gostei de pensar um pouco sobre isso, pois é uma boa pergunta.

— Cardinal

$p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

tem a solução

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$

$p(n)$

Outros casos:

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
$S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
$p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— Cam.Davidson.Pilon
fonte

Cam, essa não é a função de perigo., Mas a função de sobrevivência . :-)

— cardeal

ty, * editado para sobrevivência

— Cam.Davidson.Pilon