"Pico" de uma função de densidade de probabilidade inclinada

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Eu gostaria de descrever o "pico" e o "peso" da cauda de várias funções de densidade de probabilidade inclinadas.

Os recursos que quero descrever, seriam chamados de "curtose"? Eu só vi a palavra "curtose" usada para distribuições simétricas?

— user1375871
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De fato, as medidas de curtose são tipicamente aplicadas a distribuições simétricas. Você também pode calculá-lo para os enviesados, mas a interpretação muda, pois esse valor varia quando a assimetria é introduzida. De fato, esses dois conceitos são difíceis de separar. Recentemente, uma medida de curtose invariável pela assimetria foi proposta neste artigo .

A alta curtose está associada ao pico e à cauda pesada (também é caracterizada como 'falta de ombros'). Um dos volumes de Kendall e Stuart discutem essas questões um pouco. Mas essas interpretações são, como você observa, geralmente dadas na situação de quase simetria. Em casos não simétricos, o quarto momento padronizado é geralmente altamente correlacionado com o quadrado do terceiro momento padronizado, portanto, eles estão medindo basicamente o mesmo tipo de coisa.

— Glen_b -Reinstala Monica

De fato, dada a maneira particular como eu o expressei em meu comentário anterior, é verdade mesmo nas distribuições simétricas - o quadrado da amostra no terceiro momento padronizado (skewness do momento ao quadrado) está altamente correlacionado com o quarto momento padronizado da amostra ('curtose'), mesmo em dizer o normal.

— Glen_b -Reinstate Monica

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Com a variação definida como o segundo momento , a assimetria sendo definida como o terceiro momento e a curtose sendo definida como o quarto momento , é possível descrever as propriedades de um ampla gama de distribuições simétricas e não simétricas dos dados. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Essa técnica foi originalmente descrita por Karl Pearson em 1895 para as chamadas Distribuições de Pearson I a VII. Isso foi estendido por Egon S. Pearson (data incerta), publicada em Hahn e Shapiro em 1966, a uma ampla variedade de distribuições de cauda simétrica, assimétrica e pesada que incluem Uniforme, Normal, Estudantes-t, Lognormal, Exponencial, Gama, Beta, Beta J e Beta U. No gráfico da p. 197 de Hahn e Shapiro, e podem ser usados para estabelecer descritores para assimetria e curtose como: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Se você deseja apenas descritores relativos simples, aplicando uma constante a assimetria é e a curtose é . $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Tentamos resumir esse gráfico aqui para que ele pudesse ser programado, mas é melhor analisá-lo em Hahn e Shapiro (pp 42-49,122-132,197). Em certo sentido, estamos sugerindo um pouco de engenharia reversa do gráfico de Pearson, mas isso pode ser uma maneira de quantificar o que você está procurando.

— AsymLabs
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A questão principal aqui é, o que é "pico"? É curvatura no pico (2ª derivada?) Requer padronização primeiro? (Você poderia pensar que sim, mas há um fluxo de literatura começando com Proschan, Ann. Math. Statist. Volume 36, Número 6 (1965), 1703-1706, que define o pico de uma maneira que normal com menor variação é mais " atingiu o pico"). Ou é a concentração de probabilidade dentro de um desvio padrão da média, como está implícito em Balanda e Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol 42, 111-119)? Depois de definir uma definição, deve ser trivial aplicá-la. Mas eu perguntava: "por que você se importa?" De que relevância é "pico", no entanto definido?

BTW, a curtose de Pearson mede apenas caudas e não mede nenhuma das definições de "pico" mencionadas acima. Você pode alterar os dados ou a distribuição dentro de um desvio padrão da média o quanto desejar (mantendo a restrição de média = 0 e variação = 1), mas a curtose só pode mudar dentro de um intervalo máximo de 0,25 (geralmente muito menos). Portanto, você pode descartar o uso da curtose para medir o pico de qualquer distribuição, mesmo que a curtose seja realmente uma medida de caudas para qualquer distribuição, independentemente de a distribuição ser simétrica, assimétrica, discreta, contínua, discreta / contínua ou empírica. A curtose mede caudas para todas as distribuições e praticamente nada sobre pico (como definido).

— Peter Westfall
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$\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
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Não tenho certeza de que entendi seu pico e peso. Curtose significa "Excesso" em alemão, por isso descreve a "cabeça" ou "pico" de uma distribuição, descrevendo se é muito larga ou muito estreita. A Wikipedia afirma que o "pico" é realmente descrito pela "curtose", enquanto o pico não parece ser uma palavra real e você deve usar o termo "Kurtosis".

Então eu acho que você pode ter acertado tudo, a cabeça é a curtose, o "peso" da cauda pode ser a assimetria ":

Aqui está como você o encontra:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

com s como desvio padrão para x.

Os valores indicam:

Inclinação negativa:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Inclinação positiva:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Sem inclinação

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Você pode obter um valor para a curtose com:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Os valores indicam:

Platycurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocúrtica:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Normal:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Isso ajudou?

— Johannes Hofmeister
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Receio que esta resposta em sua forma atual possa ser menos que útil devido a erros nela. A assimetria é uma medida padrão de assimetria . Não está intimamente relacionado ao peso das caudas: é possível que as caudas sejam extremamente pesadas e a assimetria seja zero (o que é o caso de qualquer distribuição simétrica, por exemplo). Observe também que é impossível que seja negativo; portanto, a segunda metade dessa resposta faz pouco sentido. (Talvez você tenha confundido curtose com excesso de curtose ?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

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Obrigado por esclarecer. De fato, pode haver alguns erros nas fórmulas, apenas os copiei dos scripts que eles fornecem na uni. Eu supervisionei o fato de que a4 não pode ser negativo.

— Johannes Hofmeister

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Procurei por que minha resposta está errada - é um erro de tradução, peço desculpas por isso. Meus slides são todos em alemão, misturando Kurtosis e Excess .

— Johannes Hofmeister

@ Peter Como Peter Westfall continua apontando, seu comentário está incorreto: "pico" (de qualquer modo), pensado vagamente como pontiagudo ou altura, não tem absolutamente nada a ver com as caudas de qualquer distribuição, nem é medido por qualquer finito combinação de momentos (como a curtose). Pode estar ligado ao peso das caudas para uma família de distribuições, mas isso é uma questão completamente diferente.

— whuber

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A curtose está definitivamente associada ao pico da curva. A partir de agora, acredito que você está realmente procurando por curtose, que existe, seja a distribuição simétrica ou não. (user10525) definitivamente disse isso direito! Espero que seu problema já esteja resolvido. Compartilhe o resultado, todas as opiniões são bem-vindas.

— Vani
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Não tenho certeza de como isso constitui uma resposta útil além do que já foi escrito aqui. Que tal você expandir mais a curtose e o pico da curva?

— Momo

Queria fornecer esclarecimentos claros à consulta. A discussão parecia ser confusa @Momo

— Vani