Prova de proximidade das funções do kernel em produtos pontuais

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Como posso provar que o produto pontual de duas funções do kernel é uma função do kernel?

machine-learning kernel-trick

— Gigili
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Por produto pontual, presumo que você queira dizer que se são funções válidas do kernel, então o produto $k_1(x,y), k_2(x,y)$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}( x, y) = k_1( x, y) k_2(x,y) \end{align}$

também é uma função válida do kernel.

A comprovação dessa propriedade é bastante direta quando invocamos o teorema de Mercer. Como são kernels válidos, sabemos (via Mercer) que eles devem admitir uma representação interna do produto. Deixe denotam o vector característico de e representam o mesmo para . $k_1, k_2$ $a$ $k_1$ $b$ $k_2$

\begin{aligned} k_{1} (x, y) = a (x)^{T} a (y), a (z) = [a_{1} (z), a_{2} (z), \dots a_{M} (z)] \\ k_{2} (x, y) = b (x)^{T} b (y), b (z) = [b_{1} (z), b_{2} (z), \dots b_{N} (z)] \end{aligned}

$\begin{align} k_1(x,y) = a(x)^T a(y), \qquad a( z ) = [a_1(z), a_2(z), \ldots a_M(z)] \\ k_2(x,y) = b(x)^T b(y), \qquad b( z ) = [b_1(z), b_2(z), \ldots b_N(z)] \end{align}$

Portanto, é uma função que produz um vetor dim e produz um vetor dim. $a$ $M$ $b$ $N$

Em seguida, vamos apenas escrever o produto em termos de e , e realizar alguns reagrupamento. $a$ $b$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) & = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \\ = (\sum_{m = 1}^{M} a_{m} (x) a_{m} (y)) (\sum_{n = 1}^{N} b_{n} (x) b_{n} (y)) \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} [a_{m} (x) b_{n} (x)] [a_{m} (y) b_{n} (y)] \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} c_{m n} (x) c_{m n} (y) \\ = c (x)^{T} c (y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}(x,y) &= k_1(x,y) k_2(x,y) \\&= \Big( \sum_{m=1}^M a_m(x) a_m(y) \Big) \Big( \sum_{n=1}^N b_n(x) b_n(y) \Big) \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N [ a_m(x) b_n(x) ] [a_m(y) b_n(y)] \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N c_{mn}( x ) c_{mn}( y ) \\&= c(x)^T c(y) \end{align}$

onde é um vetor dimensional , st . $c(z)$ $M \cdot N$ $c_{mn}(z) = a_m(z) b_n(z)$

Agora, como podemos escrever como um produto interno usando o mapa de recursos , sabemos que é um núcleo válido (via teorema de Mercer). É tudo o que há para isso. $k_p(x,y)$ $c$ $k_p$

— Mike Hughes
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Como você sabe que o recurso Hilbert space é de dimensão finita? Não poderia ser nem separável?

— Andrei Kh

De acordo com o primeiro parágrafo só sabemos do kernel a existência de uma representação produto interno. Mas, em sua conclusão, você usa que a existência de uma representação interna do produto implica que é um kernel. Por que isso é válido?

k

$k$

⟹

$\implies$

k_{p}

$k_p$

— Viktor Glombik 02/12/19

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Que tal a seguinte prova:

Fonte: Palestra sobre métodos do kernel UChicago , página 5

— PALEN
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Suponha que e são a matriz do kernel desses dois kernel e , respectivamente, e eles são PSD. Definimos e queremos provar que também é um kernel. Isso é equivalente para provar sua matriz de kernel correspondente é PSD. $K1$ $K2$ $k_1(x,y)$ $k_2(x,y)$ $k(x,y) = k_1(x,y)k_2(x,y)$ $K = K1 \circ K2$

$K_3 = K1 \otimes K2$ é um PSD (o produto kronecker de dois PSD é PSD).
$K$ é uma submatriz principal de e, portanto, é PSD (a submatriz principal de PSD é PSD). $K_3$

— ceyao zhang
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