Os graus de liberdade para o teste de Welch são sempre menores que o DF do teste em pool?

Estou ministrando um curso de estatística básica e estamos fazendo o teste t para duas amostras independentes com variações desiguais (teste de Welch). Nos exemplos que eu vi, os graus de liberdade ajustados usados ​​pelo teste de Welch são sempre menores ou iguais a . $n_1+n_2-2$

Esse é sempre o caso? O teste de Welch sempre reduz (ou deixa inalterado) os graus de liberdade do teste t combinado (variâncias iguais)?

E sobre o mesmo assunto, se os desvios padrão da amostra forem iguais, os DFs do teste de Welch reduzem para ? Eu olhei para a fórmula, mas a álgebra ficou confusa.$n_1+n_2-2$

Sim.

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Aqui estão as referências 'oficiais' (observe que o ajuste acima - o que geralmente é usado - é derivado no segundo artigo):

• Welch, BL (1938). "O significado da diferença entre duas médias quando as variações populacionais são desiguais". Biometrika, 29, 3/4 , pp. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Uma distribuição aproximada de estimativas de componentes de variância". Biometrics Bulletin, 2, 6 , pp. 110-114 .
• Welch, BL (1947). "A generalização do problema de" Student "quando várias variações populacionais diferentes estão envolvidas". Biometrika, 34, 1/2 , pp. 28–35 .

(O Google pode produzir versões sem porta).