Explicação intuitiva da periodicidade nas cadeias de Markov

Alguém pode me explicar de maneira intuitiva qual é a periodicidade de uma cadeia de Markov?

É definido da seguinte forma:

Para todos os estados em $i$$S$

= gcd { n ∈ N | p ( n ) i i > 0 } = $d_i$$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Obrigado pelo seu esforço!

Primeiro de tudo, sua definição não está totalmente correta. Aqui está a definição correta da wikipedia, conforme sugerido por Cyan.

Periodicidade (fonte: wikipedia )

Um estado i possui o período k, se algum retorno ao estado i deve ocorrer em múltiplos de k etapas de tempo. Formalmente, o período de um estado é definido como

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(onde "gcd" é o maior divisor comum). Observe que, embora um estado tenha o período k, talvez não seja possível alcançá-lo em k etapas. Por exemplo, suponha que seja possível retornar ao estado em {6, 8, 10, 12, ...} intervalos de tempo; k seria 2, mesmo que 2 não apareça nesta lista.

Se k = 1, diz-se que o estado é aperiódico: retornos ao estado i podem ocorrer em momentos irregulares. Em outras palavras, um estado i é aperiódico se houver n tal que para todos n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

Caso contrário (k> 1), o estado é considerado periódico com o período k. Uma cadeia de Markov é aperiódica se todos os estados forem aperiódicos.

Minha explicação

O termo periodicidade descreve se algo (um evento ou aqui: a visita de um determinado estado) está acontecendo em um intervalo de tempo regular. Aqui, o tempo é medido no número de estados que você visita.

Primeiro exemplo:

Agora imagine que o relógio representa uma cadeia de markov e a cada hora marca um estado, então temos 12 estados. Cada estado é visitado pelo ponteiro das horas a cada 12 horas (estados) com probabilidade = 1, portanto, o maior divisor comum também é 12.

Portanto, todo estado (hora) é periódico com o período 12.

Segundo exemplo:

$start$$heads$$tails$

$heads$$start$$tails$$start$ em que é 0.

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd