Cálculo de vetor nas estatísticas

Estou dando uma aula sobre integração de funções de várias variáveis ​​e cálculo vetorial neste semestre. A turma é composta pela maioria dos cursos de economia e engenharia, com um punhado de pessoas de matemática e física também. Eu dei essa aula no semestre passado e descobri que muitas das áreas de economia estavam entediadas durante o segundo semestre. Consegui motivar múltiplas integrais fazendo alguns cálculos com variáveis ​​aleatórias distribuídas em conjunto, mas para a parte de análise vetorial do curso, a única motivação que eu conseguia pensar era baseada na física.

Então, eu estou me perguntando se alguém conhece uma interpretação estatística / probabilística de qualquer um dos principais teoremas do cálculo vetorial: teorema de Green, teorema de Stokes e teorema da divergência. Parte do problema é que os campos vetoriais não parecem surgir com muita frequência na teoria das probabilidades, muito menos divergência, gradiente ou curvatura. Também publiquei esta pergunta no math.stackexchange há alguns dias, mas ainda estou procurando mais idéias.

Um exemplo que você pode procurar é a quase probabilidade. A discussão sobre isso em McCullagh & Nelder: Modelos Lineares Generalizados usa (para a parte teórica) gradientes e integrais de caminho de uma maneira essencial! Veja o capítulo 9 desse livro.

Duvido que muitos estatísticos tenham que usar o cálculo vetorial como é ensinado em física e engenharia . Mas para o que vale a pena aqui estão alguns tópicos que o usariam, pelo menos tangencialmente. O tema subjacente aqui é que funções holomórficas de análises complexas, compostas de funções harmônicas, estão intimamente ligadas pelas equações de Cauchy Riemann aos teoremas de Stokes e Green. Essas funções podem ser estudadas examinando o interior de seu domínio e seus limites.

Correntes de probabilidade. Isso não é apenas para a mecânica quântica. Em geral, surgem difusões de probabilidade ao se estudar distribuições de probabilidade com variação temporal que mudam sem problemas. Isso inclui a versão estocástica de sistemas clássicos, como a equação do calor, Navier Stokes para dinâmica de fluidos, equações de onda para mecânica quântica, etc. Exemplos de equações incluem a equação de Fokker-Planck e as equações Kolmogorov Backwards / Forwards envolvem divergências para equações de calor, integrais de Feynan-Kac, problemas de dirichlet e funções de Green. As palavras-chave aqui são funções harmônicas complexas, que satisfazem a propriedade de valor médio, que por sua vez é uma conseqüência do teorema integral de Green e do teorema de Stokes. Um exemplo clássico é calcular o tempo de saída de uma difusão a partir de uma região fechada, o que reduz a avaliação de integrais no limite da superfície e a exploração da harmonicidade dentro da região.

O principal exemplo aqui são os problemas que envolvem o movimento browniano e, em geral, a ampla classe de difusões Ito . Um livro maravilhoso (e excêntrico!) Sobre esse assunto é Verde, Marrom e Probabilidade , do lendário Kai Chung.

O Teorema da Desintegração para Probabilidade é o Thoerem de Stokes, na medida em que se desintegra uma medida de probabilidade tridimensional no limite da superfície que encerra seu suporte.

Na mecânica estatística e nos campos aleatórios markov, há uma grande prevalência de conservação na forma de correntes. O Modelo de Ising, especialmente na criticidade, e seus familiares podem ser estudados do ponto de vista de funções harmônicas e holomorfas discretas. A partir das equações de Cauchy Riemann, recupera-se o teorema de Green e o teorema de Stokes, em que as correntes são livres de divergências e livres de ondulações, o que, em conjunto, implica que o campo subjacente é holomórfico. Uma grande referência sobre isso é do trabalho de Smirnov, Chelkak e Dominil-Copin .