Viés variável omitido na regressão linear

Eu tenho uma pergunta filosófica a respeito do viés variável omitido.

Temos o modelo de regressão típico (modelo de população) onde as amostras são e, em seguida condições pelas quais as estimativas do OLS se comportam muito bem.

Y = β_{0} + β_{1} X_{1} + . . . + β_{n} X_{n} + υ,

$Y= \beta_0 + \beta_1X_1 + ... + \beta_nX_n + \upsilon,$

(Y, X_{1}, . . ., X_{n})

$(Y,X_1,...,X_n)$

Então, sabemos que, se omitirmos uma das principais variáveis, , isso pode as estimativas de . Isso afetaria, pelo menos, o efeito estimado do restante das variáveis em , e também os testes de hipótese sobre , pois os valores previstos não são confiáveis. $X_k$ $\beta_0, \beta_1, ..., \beta_{k-1}, \beta_{k+1}, ..., \beta_n$ $Y$ $\beta_1, \beta_2, ...$

O fato é que não sabemos quais variáveis estão no verdadeiro modelo populacional. Em vez disso, temos vários candidatos dos quais devemos analisar e descobrir o subconjunto mais apropriado. Esse processo de seleção de variáveis utiliza estimativas OLS e testes de hipótese novamente. Com base nisso, rejeitamos ou incluímos variáveis diferentes. Mas como cada modelo candidato está omitindo variáveis relevantes (você nunca será capaz de encontrar o modelo verdadeiro), essas decisões não se baseariam em resultados tendenciosos? Por que então devemos confiar neles?

(Estou pensando no método progressivo avançado, por exemplo, onde você escolhe uma variável e depois adiciona o restante. Você compara os modelos que fazem inferência e acho que as variáveis omitidas podem estar atrapalhando tudo.)

Eu nunca fiquei muito preocupado com esse tópico até começar a pensar nele e tenho certeza de que estou errado em algum lugar.

— Josu Momediano
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Na parte samples from (Y,X1,....Xn) and then a bunch of conditions by which the OLS estimations behave quite well.é que realmente o que você quis dizer ou fez com que algumas de suas frases sejam cortadas. Além disso, você tem um erro de ortografia no título da pergunta.

— Andy W

Sim, eu quis dizer isso. Você tem as amostras / observações, e então as condições (Gauss-Markov), que garantem os estimadores para ser os melhores imparcial etc

— Josu Momediano

Como uma observação lateral, os métodos de seleção passo a passo (como avançar passo a passo) são muito improváveis de escolher o modelo que você deveria usar. Se isso não faz sentido, você pode ler minha resposta aqui: algoritmos para seleção automática de modelo .

— gung - Restabelece Monica

Mas seja qual for o método utilizado (especialização incluído), você começa a partir de 0, e você está 100% tendo o problema que eu falar sobre ... É como viés de variável omitida há cada vez

— Josu Momediano

Você está correto em se preocupar. Muita inferência é baseada na suposição de que temos o verdadeiro modelo. Estou executando regressões há muito tempo e nunca tive o verdadeiro modelo. Para meus propósitos, raramente faz sentido pensar que existe um modelo verdadeiro. Em vez disso, pergunte-se quais são os objetivos de sua modelagem (previsão em amostra, previsão fora de amostra, estimando o efeito causal médio de x3, resumo de dados etc.) porque seus objetivos indicarão quais estratégias de modelagem são melhores.

— Michael Bishop

A questão principal aqui é a natureza do viés da variável omitida . A Wikipedia afirma:

Duas condições devem ser verdadeiras para que o viés da variável omitida exista na regressão linear:

a variável omitida deve ser um determinante da variável dependente (ou seja, seu verdadeiro coeficiente de regressão não é zero); e

a variável omitida deve ser correlacionada com uma ou mais das variáveis independentes incluídas (ou seja, cov (z, x) não é igual a zero).

É importante observar cuidadosamente o segundo critério. Seus betas só serão tendenciosos sob certas circunstâncias. Especificamente, se houver duas variáveis que contribuem para a resposta correlacionadas entre si, mas você incluir apenas uma delas, então (em essência) os efeitos de ambas serão atribuídos à variável incluída, causando viés na estimativa de esse parâmetro. Então, talvez apenas alguns de seus betas sejam tendenciosos, não necessariamente todos.

$Z$ $Z$ $Z$ $Z$ $Z$ $Z$

Agora, dado que em seu estado de equilíbrio, tudo está finalmente correlacionado com tudo no mundo, podemos achar tudo isso muito preocupante. De fato, ao fazer pesquisas observacionais, é melhor sempre assumir que toda variável é endógena .

No entanto, existem limites para isso (cf. Desigualdade de Cornfield ). Primeiro, a realização de experimentos verdadeiros interrompe a correlação entre uma variável focal (o tratamento) e quaisquer variáveis explicativas relevantes, mas não observadas. Existem algumas técnicas estatísticas que podem ser usadas com dados observacionais para explicar esses conflitos não observados (prototipicamente: regressão de variáveis instrumentais , mas também outras).

Deixando de lado essas possibilidades (elas provavelmente representam uma minoria de abordagens de modelagem), qual é a perspectiva de longo prazo para a ciência? Isso depende da magnitude do viés e do volume de pesquisas exploratórias realizadas. Mesmo que os números estejam um pouco errados, eles podem estar na vizinhança e suficientemente próximos para que os relacionamentos possam ser descobertos. Então, a longo prazo, os pesquisadores podem se tornar mais claros sobre quais variáveis são relevantes. De fato, os modeladores algumas vezes trocam explicitamente o viés aumentado pela variação menor nas distribuições amostrais de seus parâmetros (cf, minha resposta aqui ). No curto prazo, vale sempre lembrar a famosa citação da Box:

Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis.

$X$ $Y$ $Y$ $X$ $X$ $Z$ $Y$ $Y$

— - Reinstate Monica
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