A soma de duas variáveis ​​aleatórias gama independentes

De acordo com o artigo da Wikipedia sobre distribuição Gamma :

Se $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ e $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , onde $X$ e $Y$ são variáveis ​​aleatórias independentes, então $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Mas não vejo nenhuma prova. Alguém pode me indicar sua prova, por favor?

Edit: Muito obrigado ao Zen, e também encontrei a resposta como exemplo na página da Wikipedia sobre funções características .

A prova é a seguinte: (1) Lembre-se de que a função característica da soma de variáveis ​​aleatórias independentes é o produto de suas funções características individuais; (2) Obter a função característica de uma variável aleatória gama aqui ; (3) Faça a álgebra simples.

Para obter alguma intuição além desse argumento algébrico, verifique o comentário do whuber.

Nota: O OP perguntou como calcular a função característica de uma variável aleatória gama. Se , então (você pode tratar i como uma constante comum, neste caso)$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Agora use a dica de Huber: Se , então Y = X 1 + ⋯ + X k , onde os X i são independentes E x p ( λ = 1 / θ ) . Portanto, usando a propriedade (1), temos ψ Y ( t ) = ( $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Dica: você não aprenderá essas coisas observando os resultados e as provas: fique com fome, calcule tudo, tente encontrar suas próprias provas. Mesmo se você falhar, sua apreciação da resposta de outra pessoa estará em um nível muito mais alto. E, sim, falhar é bom: ninguém está olhando! A única maneira de aprender matemática é brigando por cada conceito e resultado.

$\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$. The two waiting times $X$ and $Y$ are

1. independent
2. sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma($a+b,\theta$).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.