A curtose da amostra é irremediavelmente tendenciosa?

Estou observando a curtose de amostra de uma variável aleatória bastante distorcida e os resultados parecem inconsistentes. Para ilustrar o problema, observei a amostra de curtose de um RV log-normal. Em R (que estou aprendendo lentamente):

library(moments); 

samp_size = 2048;
n_trial = 4096;

kvals <- rep(NA,1,n_trial); #preallocate
for (iii in 1:n_trial) {
    kvals[iii] <- kurtosis(exp(rnorm(samp_size)));
}
print(summary(kvals));

O resumo que recebo é

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  11.87   28.66   39.32   59.17   61.70 1302.00 

Segundo a Wikipedia , a curtose para esse RV log-normal deve ser em torno de 114. Claramente a curtose da amostra é tendenciosa.

Ao fazer algumas pesquisas, descobri que a curtose da amostra é tendenciosa para amostras pequenas. Usei o estimador 'G2', conforme fornecido pelo e1071pacote no CRAN, e obtive resultados muito semelhantes para esse tamanho de amostra.

A questão : qual das seguintes opções caracteriza o que está acontecendo:

1. O erro padrão da curtose da amostra é simplesmente muito grande para este RV (mesmo que a estimativa comum do erro padrão da onda manual seja da ordem ). Como alternativa, usei poucas amostras (2048) neste estudo.$1/\sqrt{n}$
2. Essas implementações de curtose amostra sofrem de problemas numéricos que podem ser corrigidos pelo ex método de Terriberry (da mesma maneira que o método de Welford dá melhores resultados do que o método ingênuo de variância da amostra).
3. Eu calculei a curtose populacional incorretamente. (ai)
4. A curtose da amostra é inerentemente tendenciosa e você nunca pode corrigi-la para tamanhos de amostra tão pequenos.

Há uma correção de viés . Não é enorme. Acredito que a variância amostral da curtose é proporcional ao oitavo (!) Momento central, que pode ser enorme para uma distribuição lognormal. Você precisaria de milhões de tentativas (ou muito mais) em uma simulação para detectar viés, a menos que o CV seja pequeno. (Faça um histograma de kvals para ver como eles são extraordinariamente distorcidos.)

A curtose correta é realmente sobre 113.9364.

No que diz respeito ao estilo R, pode ser conveniente encapsular a simulação em uma função para que você possa modificar facilmente o tamanho da amostra ou o número de tentativas.

[Apenas no estilo R - @whuber respondeu à Kurtsosis Q]

Isso foi um pouco complicado demais para ser comentado. Para loops tão simples como o que você usa, podemos combinar a sugestão do @ whuber de encapsular a simulação em uma função com a replicate()função replicate()cuida da alocação e executa o loop para você. Um exemplo é dado abaixo:

require(moments)
foo <- function(size, trials, meanlog = 0, sdlog = 1) {
    replicate(trials,
              kurtosis(rlnorm(size, meanlog = meanlog, 
                              sdlog = sdlog)))
}

Usamos assim:

> set.seed(1)
> out <- foo(2048, 10000)
> summary(out)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  10.93   28.77   39.99   62.53   62.58 1557.00

Observe que eu uso a rlnorm()função para gerar a variável aleatória log-normal. É equivalente ao exp(rnorm())seu loop, mas usa a ferramenta correta, e permitimos que nossa função repasse parâmetros especificados pelo usuário da distribuição log-normal.

> set.seed(123)
> exp(rnorm(1))
[1] 0.5709374
> set.seed(123)
> rlnorm(1)
[1] 0.5709374