Significado de correlação parcial

Da Wikipedia

Formalmente, a correlação parcial entre $X$ e $Y$ dado um conjunto de $n$ variáveis ​​de controle $Z = \{Z_1, Z_2, …, Z_n\}$ , escrita , é a correlação entre os resíduos RX e RY resultantes de a regressão linear de X com Z e de Y com Z , respectivamente.$ρ_{XY·Z}$$RX$$RY$$X$$Z$$Y$$Z$

1. Diz anteriormente que

   a correlação parcial mede o grau de associação entre duas variáveis ​​aleatórias, removendo o efeito de um conjunto de variáveis ​​aleatórias de controle.

   Eu queria saber como a correlação parcial $ρ_{XY·Z}$ está relacionada à correlação entre $X$ e $Y$ condicional em $Z$ ?

2. Há um caso especial para $n=1$ .

   De fato, a correlação parcial de primeira ordem (isto é, quando ) nada mais é do que uma diferença entre uma correlação e o produto das correlações removíveis dividido pelo produto dos coeficientes de alienação das correlações removíveis. O coeficiente de alienação e sua relação com a variação conjunta por meio da correlação estão disponíveis em Guilford (1973, pp. 344-345).$n=1$

   Eu queria saber como escrever o acima descrito matematicamente?

Observe que a correlação condicional em é uma variável que depende de , enquanto a correlação parcial é um número único.$Z$$Z$

Além disso, a correlação parcial é definida com base nos resíduos da regressão linear. Assim, se a relação real é não-linear, a correlação parcial pode obter um valor diferente do que a correlação condicional, mesmo se a correlação condicional em é uma constante independente de . Por outro lado, são gaussianos multivariados, a correlação parcial é igual à correlação condicional.$Z$$Z$$X,Y,X$

Para um exemplo em que correlação condicional constante correlação parcial: Independentemente do valor que assumir, a correlação condicional será -1. No entanto, as regressões lineares , serão constantes 0 e, portanto, os resíduos serão os próprios valores ,Assim, a correlação parcial é igual à correlação entre , ; que não é igual a -1, pois claramente as variáveis ​​não estão perfeitamente correlacionadas se não for conhecido.$\neq$

$$Z\sim U(-1,1),~X=Z^2+e,~Y=Z^2-e,~e\sim N(0,1),e\perp Z.$$ $Z$$X|Z$$Y|Z$$X$$Y$$X$$Y$$Z$

Aparentemente, Baba e Sibuya (2005) mostram a equivalência de correlação parcial e correlação condicional para algumas outras distribuições além de gaussiana multivariada, mas não li isso.

A resposta à sua pergunta 2 parece existir no artigo da Wikipedia, a segunda equação em Usando a fórmula recursiva .