Interpretando termos de interação em regressão logit com variáveis ​​categóricas

Tenho dados de um experimento de pesquisa no qual os entrevistados foram aleatoriamente designados para um dos quatro grupos:

> summary(df$Group)
       Control     Treatment1     Treatment2     Treatment3 
            59             63             62             66 

Enquanto os três grupos de tratamento variam ligeiramente no estímulo aplicado, a principal distinção com a qual me preocupo é entre os grupos controle e tratamento. Então eu defini uma variável dummy Control:

> summary(df$Control)
     TRUE FALSE 
       59   191 

Na pesquisa, os entrevistados foram solicitados (entre outras coisas) a escolher qual das duas coisas preferiam:

> summary(df$Prefer)
      A   B  NA's 
    152  93   5 

Depois, depois de receber algum estímulo, conforme determinado pelo grupo de tratamento (e nenhum, se estivesse no grupo de controle), os entrevistados foram solicitados a escolher entre as mesmas duas coisas:

> summary(df$Choice)
  A    B 
149  101 

Quero saber se o fato de estar em um dos três grupos de tratamento afetou a escolha que os entrevistados fizeram nesta última pergunta. Minha hipótese é que os entrevistados que receberam um tratamento são mais propensos a escolher Ade B.

Dado que estou trabalhando com dados categóricos, decidi usar uma regressão de logit (fique à vontade para entrar em contato se achar incorreto). Como os entrevistados foram designados aleatoriamente, tenho a impressão de que não preciso necessariamente controlar outras variáveis ​​(por exemplo, dados demográficos), por isso deixei de fora essas perguntas. Meu primeiro modelo foi simplesmente o seguinte:

> x0 <- glm(Product ~ Control + Prefer, data=df, family=binomial(link="logit"))
> summary(x0)

Call:
glm(formula = Choice ~ Control + Prefer, family = binomial(link = "logit"), 
    data = df)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.8366  -0.5850  -0.5850   0.7663   1.9235  

Coefficients:
                    Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)           1.4819     0.3829   3.871 0.000109 ***
ControlFALSE         -0.4068     0.3760  -1.082 0.279224    
PreferA              -2.7538     0.3269  -8.424  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 328.95  on 244  degrees of freedom
Residual deviance: 239.69  on 242  degrees of freedom
  (5 observations deleted due to missingness)
AIC: 245.69

Number of Fisher Scoring iterations: 4

Tenho a impressão de que a interceptação sendo estatisticamente significativa não é algo que detenha significado interpretável. Pensei que talvez devesse incluir um termo de interação da seguinte maneira:

> x1 <- glm(Choice ~ Control + Prefer + Control:Prefer, data=df, family=binomial(link="logit"))
> summary(x1)

Call:
glm(formula = Product ~ Control + Prefer + Control:Prefer, family = binomial(link = "logit"), 
    data = df)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.5211  -0.6424  -0.5003   0.8519   2.0688  

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)                         3.135      1.021   3.070  0.00214 ** 
ControlFALSE                       -2.309      1.054  -2.190  0.02853 *  
PreferA                            -5.150      1.152  -4.472 7.75e-06 ***
ControlFALSE:PreferA                2.850      1.204   2.367  0.01795 *  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 328.95  on 244  degrees of freedom
Residual deviance: 231.27  on 241  degrees of freedom
  (5 observations deleted due to missingness)
AIC: 239.27

Number of Fisher Scoring iterations: 5

Agora, o status dos entrevistados como em um grupo de tratamento tem o efeito esperado. Esse foi um conjunto válido de etapas? Como posso interpretar o termo de interação ControlFALSE:PreferA? Os outros coeficientes ainda têm chances de log?

Suponho que PreferA = 1 quando um preferiu A e 0 caso contrário e que ControlFALSE = 1 quando tratado e 0 quando controle.

As chances de se preferir A quando uma pessoa não fez isso anteriormente e não recebeu tratamento (ControlFALSE = 0 e PreferA = 0) são , ou seja, existem 23 pessoas que preferem A para cada pessoa isso prefere B. Então A é muito popular.$\exp(3.135)= 23$

O efeito do tratamento refere-se a uma pessoa que não preferia A anteriormente (PreferA = 0). Nesse caso, as probabilidades da linha de base diminuem em um fator ou quando ela é submetida ao tratamento. Portanto, as chances de escolher A para aqueles que foram tratados e não preferiram A anteriormente são ; portanto, existe 2,3 pessoas que preferem A para cada pessoa que prefere B. Portanto, nesse grupo A ainda é mais popular que B, mas menos que no grupo não tratado / basal.( 1 - 0,099 ) × 100 % = - 90,1 % .099 ∗ 23 = $\exp(-2.309) = .099$$(1-.099) \times 100\%=-90.1\%$$.099*23=2.3$

O efeito de preferir A refere-se anteriormente a uma pessoa que é um controle (ControlFALSE = 0). Nesse caso, as probabilidades da linha de base diminuem em um fator ou quando alguém A anteriormente. (Portanto, aqueles que consultaram A anteriormente têm muito menos probabilidade de fazê-lo agora. Isso faz sentido?)- 99,4 $.006$$-99.4\%$

O efeito de interação compara o efeito do tratamento para as pessoas que preferiram A anteriormente e as que não o fizeram. Se uma pessoa preferiu A anteriormente (PreferA = 1), a razão de chances do tratamento aumenta em um fator . Portanto, a razão de chances de tratamento para aqueles que preferiram A anteriormente é de . Alternativamente, essa razão de chances de tratamento para aqueles que preferiram A anteriormente pode ser calculada como .17,3 × 0,099 = 1,71 exp ( 2,850 - 2,309 $\exp(2.850) = 17.3$$17.3 \times .099 = 1.71$$\exp(2.850 - 2.309)$

Portanto, a constante exponenciada fornece as probabilidades da linha de base , os coeficientes exponenciados dos efeitos principais fornecem as razões de chances quando a outra variável é igual a 0, e o coeficiente exponenciado dos termos de interação informa a proporção pela qual a razão de chances muda .

Também achei este artigo útil para interpretar a interação em regressão logística:

Chen, JJ (2003). Comunicação de informações complexas: a interpretação da interação estatística na análise de regressão logística múltipla . American journal of public public , 93 (9), 1376-1377.

Minha própria preferência, ao tentar interpretar interações na regressão logística, é examinar as probabilidades previstas para cada combinação de variáveis ​​categóricas. No seu caso, isso seria apenas 4 probabilidades:

1. Prefira A, controle verdadeiro
2. Prefira A, controle false
3. Prefira B, controle verdadeiro
4. Prefira B, controle falso

Quando tenho variáveis ​​contínuas, geralmente olho para o valor previsto no mediano, 1º e 3º quartis.

Embora isso não atinja diretamente a interpretação de cada coeficiente, acho que muitas vezes permite que eu (e meus clientes) vejamos o que está acontecendo de maneira clara.