Proporção da soma de Normal à soma de cubos de Normal

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Por favor, ajude-me a encontrar a distribuição limitadora (como ) do seguinte: $n \rightarrow \infty$ queé iid.

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
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1

Você já tentou analisar transformações de variáveis aleatórias? Por exemplo, pode-se tentar funções características, transformadas de Laplace-Stieltjes, etc.

— Stijn

1

Dica: O numerador e o denominador são normais assintoticamente bivariados. Você pode calcular seus momentos diretamente: suas médias são obviamente zero, a variação do numerador é

, a variação do denominador é

e a covariância é

. (Portanto, a correlação é

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

.) Para encontrar a distribuição limitadora, expresse qualquer normal bivariada com média zero

na forma

para normais independentes com média zero

e

e constante

, observe que a razão

é uma distribuição de Cauchy em escala deslocada.

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Se a formulação fosse ondeesão independentes, seria apenas um exercício clássico de livro didático. Você usa o fato de que

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$ e podemos concluir que

assintota a distribuição de Cauchy em escala.

U

$U$

Mas em sua formulação, não podemos aplicar o teorema devido à dependência. Meu Monte-Carlo sugere que a distribuição limite de não é degenerada e não tem primeiro momento e não é simétrica. Eu estaria interessado em saber se existe uma solução explícita para esse problema. Sinto que a solução só pode ser escrita em termos do processo Wiener. $U_n$

[EDIT] Seguindo a dica do whuber, observe que

ondeobservando quee. (momentos do normal normal,

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

for even

) Então, pelo teorema do mapeamento contínuo, temos

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

Observando que podemos escrever

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

onde

e independente de

, concluímos que

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

onde

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
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0

$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Ouvi dizer que proporções ou inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas, por não ter expectativas. Por que é que? ) Mas aqui, há dependência entre numerador e denominador, o que complica o assunto ... (Claramente precisa de mais reflexão aqui).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
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