O lema de Neyman-Pearson pode ser aplicado ao caso em que simples nulo e alternativo não pertencem à mesma família de distribuições?


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  1. O lema de Neyman-Pearson pode se aplicar ao caso em que uma simples alternativa nula e uma simples não pertencem à mesma família de distribuições? Pela prova, não vejo por que não pode.

    Por exemplo, quando o nulo simples é uma distribuição normal e a alternativa simples é uma distribuição exponencial.

  2. O teste da razão de verossimilhança é uma boa maneira de testar um nulo composto em relação a uma alternativa composta quando ambos pertencem a famílias diferentes de distribuições?

Obrigado e cumprimentos!


Agora essa é uma boa pergunta.
Glen_b -Reinstate Monica

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Como você diz na pergunta, a prova não faz suposições sobre a forma das duas distribuições. Confie na matemática.
Cyan

@ Cyan: O teste da razão de verossimilhança é uma boa maneira para alternativas nulas e compostas compostas que pertencem a diferentes famílias de distribuições?
StackExchange for All

Para esclarecer meu comentário anterior: freqüentemente vejo as pessoas dizerem "não" - de fato, parece até nos artigos : - "[Likelihood Ratio Tests] ... ... não pode ser usado para fazer inferências sobre a forma funcional da distribuição dos dados. " Seria bom se esse tipo de afirmação não fosse muitas vezes deixado sem resposta.
Glen_b -Reinstate Monica

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Esta é uma questão não-porque quaisquer duas distribuições distintas e G são parte de uma família de parâmetro de um contínuo { p F + ( 1 - P ) L } , , 0 p 1 . FG{pF+(1p)G},0p1
whuber

Respostas:


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Sim, Neyman Pearson Lemma pode aplicar-se ao caso em que uma simples alternativa nula e simples não pertence à mesma família de distribuições.

Vamos querer construir um teste Mais Poderoso (MP) de contra H 1 : X Exp ( 1 ) de seu tamanho.H0:XN(0,1)H1:XExp(1)

Para um particular , nossa função crítica do lema de Neyman Pearson ék

ϕ(x)={1,f1(x)f0(x)>k0,Otherwise

é um teste de MP de contra H 1H0H1 do seu tamanho.

Aqui

r(x)=f1(x)f0(x)=ex12πex2/2=2πe(x22x)

Observe que Agora, se você desenhar a figura der(x)[não sei como construir umafiguraem resposta], no gráfico ficará claro quer(x)>k

r(x)=2πe(x22x)(x1){<0,x<1>0,x>1
r(x) .r(x)>kx>c

Portanto, para um particu r ϕ ( x ) = { 1 , x > c 0 , caso contrário , é um teste de MP de H o contra H 1c

ϕ(x)={1,x>c0,Otherwise
HoH1 de seu tamanho.

Você pode testar

    1. contraH1:XCauchy(0,1)H0:XN(0,12)H1:XCauchy(0,1)
    2. contra H 1 : X Cauchy ( 0 , 1 )H0:XN(0,1)H1:XCauchy(0,1)
    3. contra H 1 : X ~ Duplo Exponencial ( 0 , 1 )H0:XN(0,1)H1:XDouble Exponential(0,1)

Por Neyman Pearson lema.

θ é um multiparâmetro e desejamos testar hipóteses sobre um dos parâmetros .

Isso é tudo de mim.


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Q2 A razão de verossimilhança é uma estatística de teste suficientemente sensata, mas (a) o lema de Neyman-Pearson não se aplica a hipóteses compostas; portanto, o LRT não será necessariamente mais poderoso; & (b) O Teorema de Wilks se aplica apenas a hipóteses aninhadas, portanto, a menos que uma família seja um caso especial da outra (por exemplo, exponencial / Weibull, Poisson / binômio negativo), você não conhece a distribuição da razão de verossimilhança sob o valor nulo, mesmo assintoticamente.


"... você não conhece a distribuição da razão de verossimilhança sob o nulo, mesmo que assintoticamente." Isso não é uma grande preocupação, tais em um mundo onde você pode codificar-se uma simulação sob a hipótese nula em menos de 20 linhas de R.
Cyan

@Cyan: Writing those 20 lines might require some thought though. Bear in mind it's a composite null, in general we won't have pivots, & I don't think the LR will necessarily be an approximate pivot. I suppose you could studentize the LR ...
Scortchi - Reinstate Monica

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  1. You're exactly right. The general picture is: we want a test statistic that gives us maximal power at a given significance level α. In other words, a way to compute a value ϕ so that the points part of parameter space for which ϕ exceeds its αth quantile under H0 have the least possible weight under H1. The Neyman-Pearson lemma demonstrates that that statistic is the likelihood ratio.

  2. Neyman & Pearson's original paper also discusses composite hypotheses. In some cases the answer is straightforward -- if there is a choice of particular distributions in each family whose likelihood ratio is conservative when applied the the whole family. This is what often happens, for instance, for nested hypotheses. It's easy for this not to happen, though; this paper by Cox discusses what to do further. I think a more modern approach here would be to approach it in a Bayesian way, by putting priors over the two families.


Great reference there - the Cox paper.
Scortchi - Reinstate Monica
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