O teste te ANOVA unidirecional são os dois testes de Wald?


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Teste t para testar se a média de uma amostra normalmente distribuída é igual a uma constante é considerada um teste de Wald, estimando o desvio padrão da média da amostra pelas informações de Fisher sobre a distribuição normal na média da amostra. Mas a estatística do teste no teste t tem uma distribuição t do aluno, enquanto a estatística do teste no teste de Wald tem assintoticamente uma distribuição no qui-quadrado. Eu me pergunto como explicar isso?

Na ANOVA unidirecional, a estatística de teste é definida como a razão entre a variação entre classes e a variação dentro da classe. Eu queria saber se também é um teste de Wald? Mas a estatística de teste na ANOVA unidirecional tem uma distribuição F, e a estatística de teste em um teste de Wald assintoticamente tem uma distribuição qui-quadrado. Eu me pergunto como explicar isso?

Obrigado e cumprimentos!

Respostas:


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Considere a seguinte configuração. Temos um -dimensional vetor de parâmetros θ que especifica o modelo completamente e um estimador de máxima verossimilhança θ . A informação de Fisher em θ é denotada I ( θ ) . O que geralmente é chamado de estatística de Wald épθθ^θI(θ)

(θ^θ)TI(θ^)(θ^θ)

onde é a informação de Fisher avaliada no estimador de máxima verosimilhança. Sob condições de regularidade, a estatística Wald segue assintoticamente uma distribuição de χ 2 com graus de liberdade p quando θ é o parâmetro verdadeiro. A estatística Wald pode ser usada para testar uma hipótese simples H 0 : θ = θ 0 em todo o vetor de parâmetros.I(θ^)χ2pθH0:θ=θ0

Com o inverso informação de Fisher a estatística de teste de Wald da hipótese H 0 : θ 1 = θ 0 , 1 é ( θ 1 - θ 0 , 1 ) 2Σ(θ)=I(θ)1H0:θ1=θ0,1 Sua distribuição assintótica é uma distribuição deχ2com 1 grau de liberdade.

(θ^1θ0,1)2Σ(θ^)ii.
χ2

Para o modelo normal, onde é o vector de média e variância dos parâmetros, a estatística de teste de Wald de testar se μ = μ 0 é N ( μ - μ 0 ) 2θ=(μ,σ2)μ=μ0 comno tamanho da amostra. Aquiσ2é o estimador de máxima probabilidade deσ2(onde você dividir porn). Aestatística do testeté

n(μ^μ0)2σ^2
nσ^2σ2nt ondes2é o estimador imparcial da variância (onde você divide pelon-1). A estatística do teste de Wald é quase, mas não exatamente, igual ao quadrado daestatística do testet, mas é assintoticamente equivalente quandon. Aestatística do testetquadradotem umadistribuiçãoexata deF(1,n-1), que converge para adistribuiçãodoχ2com 1 grau de liberdade paran.
n(μ^μ0)s
s2n1tntF(1,n1)χ2n

A mesma história se aplica ao teste na ANOVA unidirecional.F


Obrigado! Acabei de descobrir que a estatística do teste t é construída diretamente na estatística do teste da razão de verossimilhança, não na estatística do teste de Wald. A ANOVA unidirecional é baseada diretamente no teste da razão de verossimilhança?
Tim

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F

Obrigado! Sob o modelo estatístico normal, alguns também dizem que a distribuição de uma pequena modificação da estatística do teste de Wald tem uma distribuição F abaixo de nulo. Isso é verdade? Eu posto uma pergunta aqui
Tim

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O @NRH deu uma boa resposta teórica, aqui está uma que pretende ser mais simples, mais intuitiva.

nn1dentro de uma raiz quadrada). Poderíamos até projetar um teste no estilo Wald com base em uma mediana estimada menos a mediana hipotética dividida por uma função do IQR, mas não sei qual distribuição seguiria; seria melhor usar um bootstrap, permutação ou simulação distribuição para este teste, em vez de depender de assintóticos qui-quadrado. O teste F para ANOVA também se ajusta ao padrão geral, o numerador pode ser medido como a diferença das médias de uma média geral e o denominador é uma medida da variação.

Observe também que, se você esquadrar uma variável aleatória que se segue à distribuição, ela seguirá uma distribuição F com 1 df para o numerador e o denominador df serão os da distribuição t. Observe também que uma distribuição F com denominador infinito df é uma distribuição qui-quadrado. Isso significa que tanto a estatística t (ao quadrado) quanto a estatística F são assintoticamente qui-quadrado, assim como a estatística de Wald. Nós apenas usamos a distribuição mais exata na prática.

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