O teste te ANOVA unidirecional são os dois testes de Wald?

Teste t para testar se a média de uma amostra normalmente distribuída é igual a uma constante é considerada um teste de Wald, estimando o desvio padrão da média da amostra pelas informações de Fisher sobre a distribuição normal na média da amostra. Mas a estatística do teste no teste t tem uma distribuição t do aluno, enquanto a estatística do teste no teste de Wald tem assintoticamente uma distribuição no qui-quadrado. Eu me pergunto como explicar isso?

Na ANOVA unidirecional, a estatística de teste é definida como a razão entre a variação entre classes e a variação dentro da classe. Eu queria saber se também é um teste de Wald? Mas a estatística de teste na ANOVA unidirecional tem uma distribuição F, e a estatística de teste em um teste de Wald assintoticamente tem uma distribuição qui-quadrado. Eu me pergunto como explicar isso?

Obrigado e cumprimentos!

Considere a seguinte configuração. Temos um -dimensional vetor de parâmetros θ que especifica o modelo completamente e um estimador de máxima verossimilhança θ . A informação de Fisher em θ é denotada I ( θ ) . O que geralmente é chamado de estatística de Wald é$p$$\theta$$\hat{\theta}$$\theta$$I(\theta)$

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

onde é a informação de Fisher avaliada no estimador de máxima verosimilhança. Sob condições de regularidade, a estatística Wald segue assintoticamente uma distribuição de χ 2 com graus de liberdade p quando θ é o parâmetro verdadeiro. A estatística Wald pode ser usada para testar uma hipótese simples H 0 : θ = θ 0 em todo o vetor de parâmetros.$I(\hat{\theta})$$\chi^2$$p$$\theta$$H_0 : \theta = \theta_0$

Com o inverso informação de Fisher a estatística de teste de Wald da hipótese H 0 : θ 1 = θ 0 , 1 é ( θ 1 - θ 0 , 1 ) $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$$H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$ Sua distribuição assintótica é uma distribuição deχ2com 1 grau de liberdade.

$$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ $\chi^2$

Para o modelo normal, onde é o vector de média e variância dos parâmetros, a estatística de teste de Wald de testar se μ = μ 0 é N ( μ - μ 0 ) $\theta = (\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_0$ comno tamanho da amostra. Aquiσ2é o estimador de máxima probabilidade deσ2(onde você dividir porn). Aestatística do testeté

$$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ $n$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$n$$t$ ondes2é o estimador imparcial da variância (onde você divide pelon-1). A estatística do teste de Wald é quase, mas não exatamente, igual ao quadrado daestatística do testet, mas é assintoticamente equivalente quandon→∞. Aestatística do testetquadradotem umadistribuiçãoexata deF(1,n-1), que converge para adistribuiçãodoχ2com 1 grau de liberdade paran→∞. $$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ $s^2$$n-1$$t$$n \to \infty$$t$$F(1, n-1)$$\chi^2$$n \to \infty$

A mesma história se aplica ao teste na ANOVA unidirecional.$F$

O @NRH deu uma boa resposta teórica, aqui está uma que pretende ser mais simples, mais intuitiva.

$n$$n-1$dentro de uma raiz quadrada). Poderíamos até projetar um teste no estilo Wald com base em uma mediana estimada menos a mediana hipotética dividida por uma função do IQR, mas não sei qual distribuição seguiria; seria melhor usar um bootstrap, permutação ou simulação distribuição para este teste, em vez de depender de assintóticos qui-quadrado. O teste F para ANOVA também se ajusta ao padrão geral, o numerador pode ser medido como a diferença das médias de uma média geral e o denominador é uma medida da variação.

Observe também que, se você esquadrar uma variável aleatória que se segue à distribuição, ela seguirá uma distribuição F com 1 df para o numerador e o denominador df serão os da distribuição t. Observe também que uma distribuição F com denominador infinito df é uma distribuição qui-quadrado. Isso significa que tanto a estatística t (ao quadrado) quanto a estatística F são assintoticamente qui-quadrado, assim como a estatística de Wald. Nós apenas usamos a distribuição mais exata na prática.