Como encontrar um bom ajuste para o modelo semi-sinusoidal em R?

Quero assumir que a temperatura da superfície do mar no Mar Báltico é a mesma ano após ano e depois descrevê-la com um modelo de função / linear. A idéia que tive foi apenas inserir o ano como um número decimal (ou num_months / 12) e descobrir qual deveria ser a temperatura naquele momento. Jogando-o na função lm () em R, ele não reconhece dados sinusoidais, portanto apenas produz uma linha reta. Então, coloquei a função sin () dentro de um colchete I () e tentei alguns valores para ajustá-la manualmente, e isso se aproxima do que eu quero. Mas o mar está esquentando mais rápido no verão e depois esfriando mais devagar no outono ... Então, o modelo está errado no primeiro ano, fica mais correto depois de alguns anos e, no futuro, acho que fica mais e mais errado de novo.

Como posso obter R para estimar o modelo para mim, para que eu não precise adivinhar números sozinho? A chave aqui é que eu quero que produza os mesmos valores ano após ano, e não apenas esteja correto por um ano. Se eu soubesse mais sobre matemática, talvez pudesse calculá-la como algo como um Poisson ou Gaussiano em vez de sin (), mas também não sei como fazer isso. Qualquer ajuda para se aproximar de uma boa resposta seria muito apreciada.

Aqui estão os dados que eu uso e o código para mostrar os resultados até agora:

# SST from Bradtke et al 2010
ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)
SSTlm <- lm(SST$Degrees ~ I(sin(pi*2.07*SST$ToY)))
summary(SSTlm)
plot(SST,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))
par(new=T)
plot(data.frame(ToY=SST$ToY,Degrees=8.4418-6.9431*sin(2.07*pi*SST$ToY)),type="l",xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))

Isso pode ser feito com regressão linear -

Você só precisa de um e um $\sin$$\cos$ termo em cada frequência.

A razão pela qual você pode usar um termo e cos em uma regressão linear para lidar com a sazonalidade com qualquer amplitude e fase é devido ao seguinte$\sin$$\cos$ identidade trigonométrica :

Uma onda senoidal 'geral' com amplitude e fase φ , A sin ( x + φ ) , pode ser escrita como a combinação linear a sen x + b cos x onde a e$A$$\varphi$$A \sin (x + \varphi)$$a\sin x+b\cos x$$a$ são tais que A = $b$ e$A=\sqrt{a^2+b^2}$$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Vamos ver que os dois são equivalentes:

Aqui está o modelo 'básico':

 SSTlm <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm)

[recorte]

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)              8.292      0.135   61.41   <2e-16 *** 
sin(2 * pi * ToY)       -5.916      0.191  -30.98   <2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY)       -4.046      0.191  -21.19   <2e-16 *** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9355 on 45 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.969,      Adjusted R-squared: 0.9677 
F-statistic: 704.3 on 2 and 45 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SST$ToY,SSTlm$fitted,col=2)

Edit: Nota importante - os $2\pi\,t$$t$$\omega$$(2\pi/\omega)\, t$

Aqui está o modelo com o segundo harmônico:

 SSTlm2 <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY)
                        +sin(4*pi*ToY)+cos(4*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm2)

[recorte]

Coefficients:
                  Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        8.29167    0.02637  314.450  < 2e-16 ***  
sin(2 * pi * ToY) -5.91562    0.03729 -158.634  < 2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY) -4.04632    0.03729 -108.506  < 2e-16 ***  
sin(4 * pi * ToY)  1.21244    0.03729   32.513  < 2e-16 ***  
cos(4 * pi * ToY)  0.33333    0.03729    8.939 2.32e-11 ***  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.1827 on 43 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9989,     Adjusted R-squared: 0.9988 
F-statistic:  9519 on 4 and 43 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylab="Degrees",xlab="ToY",ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SSTlm2$fitted~ToY,col=2,data=SST)

... e assim por diante, com 6*pi*ToYetc. Se houvesse um pouquinho de ruído nos dados, eu provavelmente pararia com este segundo modelo.

Com termos suficientes, você pode ajustar exatamente sequências periódicas assimétricas e até irregulares, mas os ajustes resultantes podem 'mexer'. Aqui está uma função assimétrica (é uma serra - ) adicionada a uma versão em escala de sua função periódica), com terceiros (vermelho) e quarto (verde) harmônicos. O ajuste verde é, em média, um pouco mais próximo, mas "ondulado" (mesmo quando o ajuste passa por todos os pontos, o ajuste pode ser muito ondulado entre os pontos).

$\cos$$\sin$ termo será zero), enquanto o cos alterna entre 1 e -1).

Se você deseja ajustes mais suaves do que essa abordagem produz em séries não suaves, convém examinar splines periódicos ajustes .

Ainda outra abordagem é usar manequins sazonais, mas a abordagem sin / cos geralmente é melhor se for uma função periódica suave.

Esse tipo de abordagem da sazonalidade também pode se adaptar a situações em que a sazonalidade está mudando, como o uso de sazonalidade trigonométrica ou simulada com modelos de espaço de estados.

Embora a abordagem do modelo linear discutida aqui seja simples de usar, uma vantagem da abordagem de regressão não linear do @COOLSerdash é que ela pode lidar com uma variedade muito maior de situações - você não precisa mudar muito antes de estar em uma situação linear. a regressão não é mais adequada, mas os mínimos quadrados não lineares ainda podem ser usados ​​(ter um período desconhecido seria um desses casos).

A temperatura que você fornece na sua pergunta se repete exatamente a cada ano. Suspeito que não sejam realmente temperaturas medidas ao longo de quatro anos. No seu exemplo, você não precisaria de um modelo, porque as temperaturas se repetem exatamente. Mas, caso contrário, você poderia usar a nlsfunção para ajustar uma curva senoidal:

ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)

par(cex=1.5, bg="white")
plot(Degrees~ToY,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17), pch=16, las=1)

nls.mod <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1))

co <- coef(nls.mod) 
f <- function(x, a, b, c) {a + b*sin(2*pi*c*x) }

curve(f(x, a=co["a"], b=co["b"], c=co["c"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Mas o ajuste não é muito bom, especialmente no começo. Parece que seus dados não podem ser modelados adequadamente por uma simples curva senoidal. Talvez uma função trigonométrica mais complexa funcione?

nls.mod2 <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY)+d*cos(2*pi*e*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1, d=1, e=1))

co2 <- coef(nls.mod2) 
f <- function(x, a, b, c, d, e) {a + b*sin(2*pi*c*x)+d*cos(2*pi*e*x) }

curve(f(x, a=co2["a"], b=co2["b"], c=co2["c"], d=co2["d"], e=co2["e"]), add=TRUE ,lwd=2, col="red")

A curva vermelha ajusta melhor os dados. Com a nlsfunção, você pode inserir o modelo que achar apropriado.

Ou talvez você possa fazer uso do forecastpacote. No exemplo abaixo, presumi que a série cronológica começou em janeiro de 2010:

library(forecast)

Degrees.ts <- ts(Degrees, start=c(2010,1), frequency=12)

Degree.trend <- auto.arima(Degrees.ts)

degrees.forecast <- forecast(Degree.trend, h=12, level=c(80,95), fan=F)

plot(degrees.forecast, las=1, main="", xlab="Time", ylab="Degrees")

Como os dados são determinísticos, nenhuma faixa de confiança é mostrada.