Hipótese nula de equivalência

Suponha que são uma amostra aleatória simples de uma distribuição Normal . $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Estou interessado em fazer o seguinte teste de hipótese: para uma constante constante .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Eu estava pensando em realizar dois testes unilaterais (TOST) de maneira análoga à situação usual de teste de bioequivalência, em que nulo e é , mas não sei se isso faz sentido ou está correto. $t$ $|\mu| \ge c$

Minha idéia é realizar os testes unilaterais e e rejeite a hipótese nula global se um dos valores- for menor que um nível de significância .

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

Desde já, obrigado!

EDITAR:

Estou pensando um pouco sobre isso e acho que a abordagem que propus não tem nível de significância $\alpha$ .

Suponha que o valor verdadeiro de $\mu$ seja $\mu_0$ e $\sigma^2$ seja conhecido.

A probabilidade de rejeitar o nulo no primeiro teste é onde se o cdf padrão da distribuição Normal e for um valor tal que .

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Se , . Então, se , . Como alternativa, se , . $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

A probabilidade de rejeitar o nulo no segundo teste é

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

Novamente, se , temos . Da mesma forma, se , . Finalmente, se , . $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Como as regiões de rejeição dos dois testes são disjuntas, a probabilidade de rejeitar é: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

Portanto, se , é um limite superior da probabilidade de rejeitar a hipótese nula (global). Portanto, a abordagem que propus era muito liberal. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

Se não estiver errado, podemos alcançar um nível de significância de , fazendo os mesmos dois testes e rejeitando o nulo se o valor- de um deles for menor que . Um argumento semelhante é válido quando a variação é desconhecida e precisamos aplicar o teste . $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
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A edição está no caminho certo :-).

— whuber

Pergunta muito interessante !!

Você está usando a consequência lógica, ou seja, a condição de vinculação. Essa condição de vinculação forma a própria base da lógica clássica, garante a inferência ou dedução de um resultado de uma premissa.

O raciocínio por trás da sua proposta é o seguinte:

Se implica , os dados observados devem extrair mais evidências contra que . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

Em termos de suas hipóteses auxiliares e , temos , ou seja, implica e também implica . Portanto, de acordo com a condição de vinculação, devemos observar mais evidências contra que ou . Então, você concluiu que, se um dos valores p calculados em ou for suficientemente pequeno, o valor p calculado em será ainda menor. $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

No entanto, esse raciocínio lógico não é válido para valores-p, ou seja, valores-p não respeitam a consequência lógica. Cada valor-p é construído sob uma hipótese nula específica; portanto, valores-p para diferentes hipóteses nulas são computados sob diferentes métricas. Por esse motivo, os valores-p não podem respeitar o raciocínio lógico sobre o espaço do parâmetro (ou o espaço das hipóteses nulas).

Exemplos em que os valores-p violam a condição de vinculação são apresentados em Schervish (1996) e Patriota (2013). O último artigo mostra exemplos de uma distribuição normal bivariada e de um modelo de regressão (consulte os Exemplos 1.1 e 1.2 nas páginas 5 e 6, respectivamente). Eran Raviv fornece um algoritmo no código R para o caso bivariado. O aprendizado desses exemplos é: você deve calcular o valor-p diretamente para a hipótese nula de interesse. Schervish (1996) fornece uma fórmula de valor-p para o seu exemplo quando e , consulte Fórmula (2) na página 204. Se você deseja calcular um valor-p, deve adequar essa fórmula a seu caso. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) propõe uma nova medida de evidência para testar hipóteses nulas gerais (hipóteses nulas simples ou compostas) que respeitam a consequência lógica. Essa medida é chamada de valor s no artigo. O procedimento é relativamente simples para o seu exemplo:

Encontre um intervalo de confiança (1- ) para (assintótico): , em que é a média da amostra, é a variação da amostra , é o quantil de uma distribuição normal padrão e é o tamanho da amostra. $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
Encontre o valor para o qual a amplitude de é mínima e tem pelo menos um elemento em comum com (isto é, a borda de ). Este é o valor . $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
Por um lado, se , a amostra observada corrobora com a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá aceitar o nulo. Por outro lado, se , a amostra observada está fornecendo informações contra a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá rejeitar o nulo. Caso contrário, você não deve rejeitar ou aceitar o nulo. $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

Observe que, se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese alternativa está extremamente distante do valor máximo plausível, . Se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese nula está extremamente distante do valor máximo plausível, . Tente desenhar uma figura representando o intervalo de confiança e a hipótese nula de interesse para entender melhor as conclusões. Para mais informações, leia o artigo original Patriota (2013). $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

Como encontrar limites objetivos para aceitar ou rejeitar o nulo usando esse valor ainda é um problema em aberto. Essa abordagem é boa porque agora podemos aceitar uma hipótese nula. Isso faz sentido sempre que a amostra observada corrobora com o nulo e está longe da alternativa. No seu exemplo que pode ser visto para , , e . É bastante simples ver que a densidade de dados está extremamente concentrada em (dez vezes o erro padrão). Para ter uma interseção não vazia com , são necessários 99900 erros padrão. Portanto, seria justo aceitar $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ neste caso.

Referências:

Patriota, AG (2013). Uma medida clássica de evidência para hipóteses nulas gerais, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Valores P: O que são e o que não são, The American Statistician, 50, 203-206.

— Alexandre Patriota
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